g(x+1)=g(x)+1
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm
g(x+1)=g(x)+1
Προσπαθώ να λύσω την παρακάτω συναρτησιακή εξίσωση:
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f που είναι λύσεις του συστήματος:
,
για κάθε θετικό .
Έχω βρει πως από την πρώτη σχέση έχουμε πως η είναι και έχω βρει πως μία (και λογικά η μοναδική) λύση είναι η .
Αντικαταστώντας στην 2η σχέση παίρνουμε . Η είναι 1-1 ,αφόυ η είναι 1-1 και είναι συνεχής ,αφού η δεν μπορεί να μηδενίζεται λόγω της 2ης σχέσης και του ότι είναι 1-1.
Μένει να δείξω ότι αλλά δεν τα καταφέρνω παρότι μου φαίνεται εφικτό από την τελευταία σχέση.
Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f που είναι λύσεις του συστήματος:
,
για κάθε θετικό .
Έχω βρει πως από την πρώτη σχέση έχουμε πως η είναι και έχω βρει πως μία (και λογικά η μοναδική) λύση είναι η .
Αντικαταστώντας στην 2η σχέση παίρνουμε . Η είναι 1-1 ,αφόυ η είναι 1-1 και είναι συνεχής ,αφού η δεν μπορεί να μηδενίζεται λόγω της 2ης σχέσης και του ότι είναι 1-1.
Μένει να δείξω ότι αλλά δεν τα καταφέρνω παρότι μου φαίνεται εφικτό από την τελευταία σχέση.
Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: g(x+1)=g(x)+1
Λείπουν τα πεδία ορισμού.Τροβαδούρος έγραψε:Προσπαθώ να λύσω την παρακάτω συναρτησιακή εξίσωση:
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f που είναι λύσεις του συστήματος:
,
για κάθε θετικό .
Έχω βρει πως από την πρώτη σχέση έχουμε πως η είναι και έχω βρει πως μία (και λογικά η μοναδική) λύση είναι η .
Αντικαταστώντας στην 2η σχέση παίρνουμε . Η είναι 1-1 ,αφόυ η είναι 1-1 και είναι συνεχής ,αφού η δεν μπορεί να μηδενίζεται λόγω της 2ης σχέσης και του ότι είναι 1-1.
Μένει να δείξω ότι αλλά δεν τα καταφέρνω παρότι μου φαίνεται εφικτό από την τελευταία σχέση.
Θα εκτιμούσα οποιαδήποτε βοήθεια.
π.χ την , στο την ικανοποιούν οι
ενώ στο την ικανοποιούν οι
χωρίς πεδίο ορισμού δεν γίνεται τίποτα.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm
Re: g(x+1)=g(x)+1
Έψαξα περισσότερο στο ίντερνετ και τελικά η άσκηση είναι από το βιβλίο Functional equations and how to solve them του C.G.Small και η εκφώνηση πάλι δεν δίνει τα πεδία ορισμού.
Τελικά η λύση που δίνει το βιβλίο είναι πολύ μακριά από αυτό που προσπαθώ να κάνω εγώ.
Πληροφοριακά επείδη το είδα στο βιβλίο τώρα το αποτέλεσμα πως μόνο η επαληθεύει το σύστημα ονομάζεται θεώρημα Dubikajtis.
Τελικά η λύση που δίνει το βιβλίο είναι πολύ μακριά από αυτό που προσπαθώ να κάνω εγώ.
Πληροφοριακά επείδη το είδα στο βιβλίο τώρα το αποτέλεσμα πως μόνο η επαληθεύει το σύστημα ονομάζεται θεώρημα Dubikajtis.
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: g(x+1)=g(x)+1
Εύκολα βγαίνει ότι η είναι αμφιμονοσήμαντη οπότε . Δηλαδή η είναι συμμετρική ως προς την πρώτη διχοτόμο.
Έχουμε
Γενικότερα οπότε γενικά είναι
Λόγω συμμετρίας είναι
Άρα και γενικότερα
Θα δείξουμε ακόμη ότι για κάθε ρητό.
Έστω . Αν αυτό δεν ισχύει παίρνουμε το αντίστροφο και κάνουμε τα ίδια μ αυτά που ακολουθούν.
οπότε . Αυτό σημαίνει ότι αν τότε .
Όμως αν όπου . Επαναλαμβάνουμε τα ίδια μέχρι που μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων θα φτάσουμε στο να εξαρτώνται όλα τα προηγούμενα από ένα τελευταίο κλάσμα της μορφής για το οποίο είναι . Έτσι έχουμε για κάθε ρητό.
Είναι τώρα γνωστό ότι για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει τουλάχιστον μια ακολουθία ρητών αριθμών με οπότε λόγω συνεχείας είναι αλλά οπότε για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.
ΠΚ
Έχουμε
Γενικότερα οπότε γενικά είναι
Λόγω συμμετρίας είναι
Άρα και γενικότερα
Θα δείξουμε ακόμη ότι για κάθε ρητό.
Έστω . Αν αυτό δεν ισχύει παίρνουμε το αντίστροφο και κάνουμε τα ίδια μ αυτά που ακολουθούν.
οπότε . Αυτό σημαίνει ότι αν τότε .
Όμως αν όπου . Επαναλαμβάνουμε τα ίδια μέχρι που μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων θα φτάσουμε στο να εξαρτώνται όλα τα προηγούμενα από ένα τελευταίο κλάσμα της μορφής για το οποίο είναι . Έτσι έχουμε για κάθε ρητό.
Είναι τώρα γνωστό ότι για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει τουλάχιστον μια ακολουθία ρητών αριθμών με οπότε λόγω συνεχείας είναι αλλά οπότε για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.
ΠΚ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες