Αντιπαραδείγματα

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Αντιπαραδείγματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 23, 2017 12:22 am

Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά ...

1. Βρείτε μια σχέση μεταξύ των \displaystyle{x,y} η οποία δεν ορίζει συνάρτηση.
2. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ορίζεται η \displaystyle{f+g} αλλά όχι η \displaystyle{f\circ g}
3. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f\circ g=g\circ f}.
4. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f\circ g\ne g\circ f}.
5. Βρείτε μια περιττή συνάρτηση \displaystyle{f} που δεν είναι \displaystyle{1-1} .
6. Βρείτε μια \displaystyle{1-1} συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη
7. Βρείτε δυο αντίστροφες συναρτήσεις \displaystyle{f,g} ώστε οι \displaystyle{{{C}_{f}},{{C}_{g}}} να τέμνονται σε σημείο εκτός της \displaystyle{y=x}.
8. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f(g(x))=x} και \displaystyle{g(f(x))\ne x}
9. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} που να μην είναι \displaystyle{1-1} ενώ η \displaystyle{f\circ g} είναι \displaystyle{1-1} .
10. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f(g(x))=f(x)g(x)}


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αντιπαραδείγματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιουν 23, 2017 9:36 am

exdx έγραψε:Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά ...

1. Βρείτε μια σχέση μεταξύ των \displaystyle{x,y} η οποία δεν ορίζει συνάρτηση.
2. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ορίζεται η \displaystyle{f+g} αλλά όχι η \displaystyle{f\circ g}
3. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f\circ g=g\circ f}.
4. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f\circ g\ne g\circ f}.
5. Βρείτε μια περιττή συνάρτηση \displaystyle{f} που δεν είναι \displaystyle{1-1} .
6. Βρείτε μια \displaystyle{1-1} συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη
7. Βρείτε δυο αντίστροφες συναρτήσεις \displaystyle{f,g} ώστε οι \displaystyle{{{C}_{f}},{{C}_{g}}} να τέμνονται σε σημείο εκτός της \displaystyle{y=x}.
8. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f(g(x))=x} και \displaystyle{g(f(x))\ne x}
9. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} που να μην είναι \displaystyle{1-1} ενώ η \displaystyle{f\circ g} είναι \displaystyle{1-1} .
10. Βρείτε δύο συναρτήσεις \displaystyle{f,g} για τις οποίες να ισχύει \displaystyle{f(g(x))=f(x)g(x)}
Μια πρώτη προσπάθεια:

1. x^2+y^2=1.
2. f(x)=\dfrac{1}{x}, x\ne 0, g(x)=0.
3. f(x)=g(x)=0 για κάθε x\in \mathbb{R}.
4. f(x)=1, g(x)=0 για κάθε x\in \mathbb{R}.
5. f(x)=\sin x για κάθε x\in \mathbb{R}.
6. f(x)=e^x για x\ne 0, ενώ f(0)=0.
7. f(x)=-x, g(x)=-x.
8. g(x)=\dfrac{x}{1+|x|},και f(x)=\dfrac{x}{1-|x|} για |x|<1, f(x)=0, |x|\geq 1. (αντιγραφή από εδώ)
9. Αν η f\circ g είναι 1-1, τότε η g είναι 1-1, οπότε τέτοιο αντιπαράδειγμα δεν υπάρχει.
10. f(x)=0, g οποιαδήποτε με D_g=\mathbb{R}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αντιπαραδείγματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιουν 23, 2017 10:47 am

Κατά αρχήν να σημειώσω ότι για τα κανονικά Μαθηματικά υπάρχει πρόβλημα σε κάποια ερωτήματα.
Αυτό γιατί δεν γίνεται κουβέντα για τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων.

Ετσι ενώ σωστά τα λέει ο Αχιλλέας για το 9) με σχολικά Μαθηματικά υπάρχει παράδειγμα.

Θέτουμε g(x)=-\left | \sin x \right |-1 για x< 0

και g(x)=x^{2} για x\geq 0

Επίσης f(x)=\sqrt{x} για x\geq 0

και f(x)=\sqrt{\left | x \right |} για x\leq -10


Στο 8) νομίζω ότι πιο απλό είναι να πάρουμε

f(x)=x^{2},x\in \mathbb{R}

και g(x)=\sqrt{x},x\geq 0


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Αντιπαραδείγματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 23, 2017 12:17 pm

Καλημέρα Αχιλλέα , καλημέρα Σταύρο . Ευχαριστώ για τα παραδείγματα .

Δεν λέω τίποτα για το πεδίο ορισμού. Ψάχνω δυο συναρτήσεις , οτιδήποτε
(Σε κάποιες ασκήσεις του σχολικού αναφέρεται : Βρείτε συνάρτηση ώστε ...
Επίσης στο φετινό Α2 δεν αναφερόταν το πεδίο ορισμού .)

Για το 9
Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι φανερό ότι δεν είναι \displaystyle{1-1}
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 f(x) = |x|,x >  - 2, \\  
 g(x) = {x^2},|x| \ge 2 \\  
 \end{array}}

Όμως : \displaystyle{{{A}_{gof}}=\left\{ x\in {{A}_{f}}\wedge f(x)\in {{A}_{g}} \right\}=\left\{ x>-2\wedge |x|\ge 2 \right\}=[2,+\infty )}
και \displaystyle{g(f(x))=g(|x|)=|x{{|}^{2}}={{x}^{2}},x\ge 2} , η οποία είναι \displaystyle{1 - 1}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης