ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Κυρ Ιούλ 09, 2017 3:15 pm

Έστω οι παραβολές C_1 ∶ y^2  = x ,  C_2: y^2  = - x και η καμπύλη C που αποτελείται από τα σημεία M(x,y) με M \in C_1 ή M \in C_2    ,∀ x \in R .

Α. Να βρείτε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις f∶ R\rightarrow R με y = f(x) και (x,y)  \in C

B. Αν g,h δυο από τις παραπάνω συναρτήσεις με g(1) > h(1) να βρείτε τις αντίστροφές τους.

Γ. Να λύσετε την εξίσωση e^{g(-x)}  +e^{g^{-1} (x)}=e^{h(-x)}  +e^{h^{-1} (x) },x ∈R

Δ. Έστω ο κύκλος K (O,r) ο οποίος τέμνει της γραφικές παραστάσεις των g,h^{-1} στα σημεία A(a,g(a)) ,a > 0 και B(b,h^{-1} (b)) ,b < 0 αντίστοιχα.

1. Να δείξετε ότι τα OA και OB σχηματίζουν ορθή γωνία
2. Να δείξετε ότι g(a) =- b και h^{-1} (b) = a
3. Να αιτιολογήσετε την πρόταση, « στρέφοντας την γραφική παράσταση της h^{-1} κατά 90^o δεξιόστροφα με κέντρο το O ,τότε αυτή θα συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της g» .



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Ιούλ 09, 2017 11:19 pm

makisman έγραψε:Έστω οι παραβολές C_1 ∶ y^2  = x ,  C_2: y^2  = - x και η καμπύλη C που αποτελείται από τα σημεία M(x,y) με M \in C_1 ή M \in C_2    ,∀ x \in R .

Α. Να βρείτε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις f∶ R\rightarrow R με y = f(x) και (x,y)  \in C

B. Αν g,h δυο από τις παραπάνω συναρτήσεις με g(1) > h(1) να βρείτε τις αντίστροφές τους.

Γ. Να λύσετε την εξίσωση e^{g(-x)}  +e^{g^{-1} (x)}=e^{h(-x)}  +e^{h^{-1} (x) },x ∈R

Δ. Έστω ο κύκλος K (O,r) ο οποίος τέμνει της γραφικές παραστάσεις των g,h^{-1} στα σημεία A(a,g(a)) ,a > 0 και B(b,h^{-1} (b)) ,b < 0 αντίστοιχα.

1. Να δείξετε ότι τα OA και OB σχηματίζουν ορθή γωνία
2. Να δείξετε ότι g(a) =- b και h^{-1} (b) = a
3. Να αιτιολογήσετε την πρόταση, « στρέφοντας την γραφική παράσταση της h^{-1} κατά 90^o δεξιόστροφα με κέντρο το O ,τότε αυτή θα συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της g» .
...Καλησπέρα :logo: με μιά προσπάθεια στο γεωμετρικό θέμα του makisman...

Α) Είναι {{C}_{1}}:{{y}^{2}}=x\Leftrightarrow y=\left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,\,\sqrt{x},\,\,x\ge 0 \\  
 & -\sqrt{x},\,\,x\ge 0 \\  
\end{matrix} \right. και y={{C}_{2}}:{{y}^{2}}=-x\Leftrightarrow y=\left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,\,\sqrt{-x},\,\,x\le 0 \\  
 & -\sqrt{-x},\,\,x\le 0 \\  
\end{matix} \right.

και οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις f:R\to R με y = f(x) και (x,y)  \in C είναι οι

f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,\,\sqrt{x},\,\,\,\,\,x\ge 0 \\  
 & -\sqrt{-x},\,\,x\le 0 \\  
\end{matrix} \right. που είναι γνήσια αύξουσα στο Rκαι η

f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -\sqrt{x},\,\,\,\,\,x\ge 0 \\  
 & \sqrt{-x},\,\,\,\,\,x\le 0 \\  
\end{matrix} \right. που είναι γνήσια φθίνουσα στο R.

Β) Αφού g(1) > h(1) είναι g(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,\,\sqrt{x},\,\,\,\,\,x\ge 0 \\  
 & -\sqrt{-x},\,\,x\le 0 \\  
\end{matrix} \right. με g(1)=1 και h(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & -\sqrt{x},\,\,\,\,\,x\ge 0 \\  
 & \sqrt{-x},\,\,\,\,\,x\le 0 \\  
\end{matrix} \right. με h(1)=-1

Τώρα λύνοντας την εξίσωση y=g(x) όταν x\ge 0 έχουμε

y=\sqrt{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y\ge 0 \\  
 & {{y}^{2}}=x \\  
\end{matrix} \right. οπότε {{g}^{-1}}(y)={{y}^{2}},\,\,y\ge 0 και όταν x\le 0 έχουμε

y=-\sqrt{-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y\le 0 \\  
 & {{y}^{2}}=-x \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y\le 0 \\  
 & -{{y}^{2}}=x \\  
\end{matrix} \right. οπότε {{g}^{-1}}(y)=-{{y}^{2}},\,\,y\le 0 άρα {{g}^{-1}}(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,{{x}^{2}},\,\,\,\,\,x\ge 0 \\  
 & -{{x}^{2}},\,\,x\le 0 \\  
\end{matrix} \right.

Επίσης εξίσωση y=h(x) όταν x\ge 0 έχουμε y=-\sqrt{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y\le 0 \\  
 & {{y}^{2}}=x \\  
\end{matrix} \right. οπότε {{h}^{-1}}(y)={{y}^{2}},\,\,y\le 0 και όταν x\le 0 έχουμε

y=\sqrt{-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y\ge 0 \\  
 & {{y}^{2}}=-x \\  
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & y\ge 0 \\  
 & -{{y}^{2}}=x \\  
\end{matrix} \right. οπότε {{h}^{-1}}(y)=-{{y}^{2}},\,\,y\ge 0 άρα {{h}^{-1}}(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,{{x}^{2}},\,\,x\le 0 \\  
 & -{{x}^{2}},\,\,x\ge 0 \\  
\end{matrix} \right.

Γ) Ισχύει ότι g(x)=-h(x),\,\,x\in R άρα g(-x)=-h(-x),\,\,x\in R και {{g}^{-1}}(x)=-{{h}^{-1}}(x),\,\,x\in R

επομένως η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

{{e}^{g(-x)}}+{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}={{e}^{-g(-x)}}+{{e}^{-{{g}^{-1}}(x)}}\Leftrightarrow  
 
{{e}^{g(-x)}}-{{e}^{-{{g}^{-1}}(x)}}={{e}^{-g(-x)}}-{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}\Leftrightarrow

{{e}^{g(-x)}}-\frac{1}{{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}}=\frac{1}{{{e}^{g(-x)}}}-{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}\Leftrightarrow \frac{{{e}^{g(-x)}}{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}-1}{{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}}=\frac{1-{{e}^{g(-x)}}{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}}{{{e}^{g(-x)}}}\Leftrightarrow

\frac{{{e}^{g(-x)+{{g}^{-1}}(x)}}-1}{{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}}+\frac{{{e}^{g(-x)+{{g}^{-1}}(x)}}-1}{{{e}^{g(-x)}}}=0\Leftrightarrow

\left( {{e}^{g(-x)+{{g}^{-1}}(x)}}-1 \right)\left( \frac{1}{{{e}^{{{g}^{-1}}(x)}}}+\frac{1}{{{e}^{g(-x)}}} \right)=0\Leftrightarrow {{e}^{g(-x)+{{g}^{-1}}(x)}}-1=0\Leftrightarrow

{{e}^{g(-x)+{{g}^{-1}}(x)}}=1\Leftrightarrow g(-x)+{{g}^{-1}}(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & \,\,\,\,\,\,\sqrt{x}+{{x}^{2}}=0,\,\,\,x\ge 0 \\  
 & -\sqrt{-x}-{{x}^{2}}=0,\,\,x\le 0 \\  
\end{matrix} \right. που προφανώς έχει μοναδική ρίζα την x=0

Δ) 1) Έχοντας και το παρακάτω σχήμα
ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.jpg
ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.jpg (21.79 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές
Ισχύει σαν ακτίνες του ίδιου κύκλου

OA=OB\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{g}^{2}}(a)}=\sqrt{{{b}^{2}}+{{({{h}^{-1}}(b))}^{2}}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{g}^{2}}(a)={{b}^{2}}+{{({{h}^{-1}}(b))}^{2}} (1)

Τώρα αν {{h}^{-1}}(b)=\kappa >0\Leftrightarrow b=h(\kappa )=-g(\kappa )=-\sqrt{\kappa }\Leftrightarrow b=-\sqrt{\kappa }\Leftrightarrow {{b}^{2}}=\kappa

και από την (1) προκύπτει ότι {{a}^{2}}+{{\sqrt{a}}^{2}}=\kappa +{{\kappa }^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{\kappa }^{2}}+a-\kappa =0\Leftrightarrow (a-\kappa )(a+\kappa +1)=0

και επειδή a+\kappa +1>0 έχουμε ότι a=\kappa \Rightarrow g(a)=g(\kappa )=-b

Είναι A(a,g(a)) ,a > 0και ο συντελεστής διεύθυνσης της OA είναι {{\lambda }_{1}}=\frac{g(a)}{a}=\frac{-b}{\kappa } και

B(b,h^{-1} (b)) ,b < 0και ο συντελεστής διεύθυνσης της OB είναι {{\lambda }_{2}}=\frac{{{h}^{-1}}(b)}{b}=\frac{\kappa }{b}

επομένως {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}=\frac{-b}{\kappa }\cdot \frac{\kappa }{b}=-1 οπότε OA\bot OB.

2) Από το προηγούμενο έχουμε g(a)=-b\Leftrightarrow -g(\alpha )=b\Leftrightarrow h(\alpha )=b\Leftrightarrow \alpha ={{h}^{-1}}(b)

...στροφή γραφικής παράστασης (...μετασχηματισμοί...) μάλλον ξεφεύγουμε αρκετά για σχολική ύλη...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Τρί Ιούλ 11, 2017 1:44 pm

Ευχαριστώ Βασίλη για την ενασχόληση. Το Δ1 το δούλεψα με τριγωνομετρία. Το Δ3 το έβαλα για εποπτική αντιμετώπιση ,δηλαδή για κάθε κύκλο με ακτίνα ρ η γωνια ΑΟΒ είναι ορθή ,άρα το σημείο Α κινούμενο στο τόξο ΑΒ=90 θα καταλήγει πάντα στο Β και αντίστροφα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες