Συναρτησιακή και όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή και όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Σεπ 27, 2017 2:19 pm

Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8 , για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 27, 2017 3:36 pm

exdx έγραψε:
Τετ Σεπ 27, 2017 2:19 pm
Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8 , για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)
Αφού 0 \le 8=f(x)(f^2(x) + x^2) έχουμε ότι f(x) \ge 0.

Άρα 8={f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)\ge f^3(x) οπότε f(x) \le 2 και ειδικά 8= {f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x) \le f^3(x)+ 2x^2.

Άρα 8-2x^2\le f^3(x) \le 8. Παίρνοντας όριο στο 0 έπεται f^3(x) \to 8 και άρα f(x) \to 2


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 27, 2017 5:07 pm

exdx έγραψε:
Τετ Σεπ 27, 2017 2:19 pm
Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8 , για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)
Υπάρχουν και πολλές παραλλαγές της λύσης. Μία από αυτές (δείγμα) είναι:

Όπως πριν f(x) \le 2. Αλλά τότε  2 \ge f(x) = \frac {8}{x^2+f^2(x)}  \ge  \frac {8}{x^2+4}  . Παίρνουμε τώρα όριο στο 0 από όπου f(x) \to 2.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8450
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 28, 2017 11:56 am

Κάποιος μαθητής θα μπορούσε να πει το πιο κάτω:

Ας γράψουμε \displaystyle a = \lim_{x\to 0} f(x). Παίρνοντας όρια στις δύο πλευρές του f^3(x) + x^2f(x) = 8 καταλήγουμε στο a^3 = 8 και άρα a=2.

Πως θα το βαθμολογούσατε;


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 28, 2017 12:10 pm

Ευχαριστώ τον κ. Λάμπρου για τις δύο ωραίες λύσεις
Για την πολυφωνία και μόνο βάζω άλλη μία , ελαφρώς διαφορετική

Είναι \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8\Leftrightarrow f(x)[{{f}^{2}}(x)+{{x}^{2}}]=8\Leftrightarrow f(x)>0
και \displaystyle {{f}^{3}}(x)\le {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8\Rightarrow f(x)\le 2
Τότε
\displaystyle \begin{array}{l} 
 {f^3}(x) + {x^2}f(x) = 8 \Leftrightarrow {f^3}(x) - 8 =  - {x^2}f(x) \Leftrightarrow [f(x) - 2][{f^2}(x) + 2f(x) + 4] =  - {x^2}f(x) \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow |f(x) - 2||{f^2}(x) + 2f(x) + 4| = |{x^2}f(x)| \Leftrightarrow \left| {\frac{{f(x) - 2}}{{f(x)}}} \right| = \frac{{|{x^2}|}}{{|{f^2}(x) + 2f(x) + 4|}} \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow \left| {\frac{{f(x) - 2}}{{f(x)}}} \right| \le \frac{{|{x^2}|}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{{|{x^2}|}}{4} \le \frac{{f(x) - 2}}{{f(x)}} \le \frac{{|{x^2}|}}{4} \Leftrightarrow  - \frac{{|{x^2}|}}{4} \le 1 - \frac{2}{{f(x)}} \le \frac{{|{x^2}|}}{4} \\  
 \end{array}
οπότε από κριτήριο παρεμβολής \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{2}{f(x)} \right)=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=2


Kαλαθάκης Γιώργης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 28, 2017 12:16 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 11:56 am
Κάποιος μαθητής θα μπορούσε να πει το πιο κάτω:

Ας γράψουμε \displaystyle a = \lim_{x\to 0} f(x). Παίρνοντας όρια στις δύο πλευρές του f^3(x) + x^2f(x) = 8 καταλήγουμε στο a^3 = 8 και άρα a=2.

Πως θα το βαθμολογούσατε;
Λεπτό σημείο.

Βασικά το επίμαχο σημείο είναι στην εκφώνηση που έμμεσα θεωρεί ότι το όριο υπάρχει. Αν ήταν σαφέστερη η διατύπωση της εκφώνησης, π.χ. αν έλεγε "βρείτε το  \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x) δεδομένου ότι υπάρχει", τότε η απάντηση του μαθητή παίρνει πλήρεις μονάδες.

Όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση, υπάρχει θέμα. Στις Πανελλήνιες εξετάσεις, που όλα διογκώνονται, σίγουρα θα ξεσήκωνε θύελλα αντιδράσεων.

Στην λύση μου δεν υπέθεσα ότι το όριο υπάρχει, γι' αυτό έκανα την μανούβρα να δείξω την ύπαρξη... Φύλαγα τα νώτα μου. Προσθέτω ότι από τον συλλογισμό που γράφει Ο Δημήτρης μάντεψα την τιμή του ορίου, και από εκεί η λύση.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8450
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 28, 2017 12:58 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 12:16 pm
Όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση, υπάρχει θέμα. Στις Πανελλήνιες εξετάσεις, που όλα διογκώνονται, σίγουρα θα ξεσήκωνε θύελλα αντιδράσεων.
Σε Πανελλήνιες θα γινόταν όντως χαμός. Εγώ πάντως θα έκοβα μονάδες. Όταν ζητάμε να βρεθεί το όριο, έστω και αν δεν είναι απολύτως σαφές, εννοείται ότι πρέπει να δειχθεί και η ύπαρξη

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 12:16 pm
Προσθέτω ότι από τον συλλογισμό που γράφει Ο Δημήτρης μάντεψα την τιμή του ορίου, και από εκεί η λύση.
Χωρίς καν να πάρουμε όρια, η πεποίθηση είναι ότι η f(x) «πρέπει» να είναι συνεχής στο 0 και άρα το όριο «πρέπει» να είναι το f(0)=2.
Πάρα πολύ εκτός φακέλου, το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης μας δίνει ότι η f ορίζεται με μοναδικό τρόπο κοντά στο 0 και είναι συνεχής σε αυτό. (Είναι μάλιστα και παραγωγίσιμη.) Αρκεί να ελεγχθεί ότι για την συνάρτηση g(y) = y^3+x^2y-8 η \displaystyle  \frac{\partial g}{\partial y} δεν μηδενίζεται στο (0,2).


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 28, 2017 1:36 pm

Προτίμησα αυτή τη διατύπωση (στην οποία ανταποκρίνονται οι λύσεις ) διότι αν έγραφα :
- « Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x), γνωρίζοντας ότι υπάρχει»
τότε ή άσκηση είναι εύκολη
- «Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8για κάθε \displaystyle x\in R, να αποδείξετε ότι υπάρχει και να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)»
Τότε μπορεί να δημιουργηθεί η εντύπωση ότι πρέπει πρώτα να αποδειχθεί η ύπαρξη και μετά να βρεθεί το όριο .
- «Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε , αν υπάρχει , το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)»
τότε είναι διφορούμενη


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8450
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 28, 2017 2:29 pm

Γιώργη, δεν το έκανα ως κριτική στην εκφώνηση, αλλά περισσότερο ως ένα διδακτικό επεισόδιο.

Μέσα στην τάξη είναι σαφώς πιο εύκολο να το διαχειριστούμε παρά στην Πανελλήνιες. Αν τους εξηγήσουμε μάλιστα από πριν ότι δεν επιτρέπεται να θεωρούν ότι ένα ζητούμενο όριο υπάρχει, εκτός και αν επιτραπεί ρητώς, τότε δεν θα έχουμε πρόβλημα.

Μάλιστα αν τους το εξηγήσουμε από πριν, και δώσουμε κάποια παραδείγματα, τότε μπορούμε να είμαστε και πιο αυστηροί στην βαθμολόγηση. Σε αντίθετη περίπτωση, καλό είναι να μην είμαστε τόσο αυστηροί αλλά να τους πούμε να είναι πιο προσεκτικοί από δω και πέρα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή και όριο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 28, 2017 6:13 pm

f(x)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}


συμπλήρωμα
Εννοείται ότι \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a},a\geq 0.
Ο τύπος βγαίνει από https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Cardano's method.


χρηστος ευαγγελινος

Re: Συναρτησιακή και όριο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Παρ Σεπ 29, 2017 12:30 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 6:13 pm
f(x)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}


συμπλήρωμα
Εννοείται ότι \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a},a\geq 0.
Ο τύπος βγαίνει από https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Cardano's method.
Τι νόημα έχει να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης με τον τύπο του Cardano σε μια άσκηση της Γ΄λυκείου; :? :? :? Είναι τρομακτικό. Και το μόνο που μπορεί να προσθέσει κατά τη γνώμη μου , είναι περισσότερο άγχος στους μαθητές.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 29, 2017 7:40 am

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:
Παρ Σεπ 29, 2017 12:30 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 6:13 pm
f(x)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}


συμπλήρωμα
Εννοείται ότι \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a},a\geq 0.
Ο τύπος βγαίνει από https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Cardano's method.
Τι νόημα έχει να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης με τον τύπο του Cardano σε μια άσκηση της Γ΄λυκείου; :? :? :? Είναι τρομακτικό. Και το μόνο που μπορεί να προσθέσει κατά τη γνώμη μου , είναι περισσότερο άγχος στους μαθητές.
Ο Σταύρος , με αυτή την ανάρτηση , «νομιμοποίησε» τη συνάρτηση . Αυτό είναι καλό για την ίδια την άσκηση και αδιάφορο για τον λύτη.
Εξάλλου ,το νόημα τέτοιων ασκήσεων είναι να βρεθούν τα ζητούμενα χωρίς να βρεθεί ο αναλυτικός τύπος της συνάρτησης.
Αν όμως δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση , δημιουργείται ηθικό θέμα .


Kαλαθάκης Γιώργης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή και όριο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 29, 2017 9:04 am

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:
Παρ Σεπ 29, 2017 12:30 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 6:13 pm
f(x)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}


συμπλήρωμα
Εννοείται ότι \sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a},a\geq 0.
Ο τύπος βγαίνει από https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Cardano's method.
Τι νόημα έχει να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης με τον τύπο του Cardano σε μια άσκηση της Γ΄λυκείου; :? :? :? Είναι τρομακτικό. Και το μόνο που μπορεί να προσθέσει κατά τη γνώμη μου , είναι περισσότερο άγχος στους μαθητές.
Το νόημα είναι ότι σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να βρούμε την συνάρτηση.
Και βλέπουμε ότι δεν μας διευκολύνει για την λύση.
Δεν νομίζω ότι ο τύπος του Cardano είναι τρομακτικός.
Οσο για το άγχος που μπορεί να προκαλέσει σε κάποιους, δεν έχω καμία διάθεση να σκέπτομαι μην τυχόν
αυτό που θα γράψω προκαλέσει σε κάποιους οτιδήποτε.
Η γνώμη μου δε είναι ότι η γνώση δεν προκαλεί άγχος αλλά ευχαρίστηση.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7214
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συναρτησιακή και όριο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 29, 2017 9:48 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 29, 2017 9:04 am

Η γνώμη μου δε είναι ότι η γνώση δεν προκαλεί άγχος αλλά ευχαρίστηση.

:clap2:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 29, 2017 11:06 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Σεπ 28, 2017 6:13 pm
f(x)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{x^{6}}{27}}}
Σταύρο, ευχαριστούμε.

Η εύρεση του τύπου έχει πολλά διδακτικά πλεονεκτήματα.

Πρώτα απ' όλα μπορούμε να ρωτήσουμε τον μαθητή να επιβεβαιώσει ότι ο τύπος
αυτός πράγματι δίνει την αντίστροφη.

Δεύτερον μπορούμε να οδηγήσουμε το μαθητή να δει μία επιβεβαίωση αυτών που γράφονται
στο πρώτο σκέλος της λύσης (οι παραπάνω μέθοδοι εύρεσης του ορίου ήσαν έμμεσες, μέσω ανισοτήτων).

Τρίτον θα μπορούσαμε να συμπληρώναμε ερωτήματα στην αρχική ερώτηση μια και υπάρχει
το εξής απρόσμενο: Το όριο της f είναι 2 επειδή το ένα ριζικό (το πρώτο) τείνει στο 2
ενώ το άλλο στο 0. Γενικά, όταν μία συνάρτηση f γράφεται ως f(x)=g(x)+h(x) και έχει όριο,
δεν αναμένουμε να έχουν όριο οι g, h χωριστά. Εδώ έχουν.


χρηστος ευαγγελινος

Re: Συναρτησιακή και όριο

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστος ευαγγελινος » Παρ Σεπ 29, 2017 11:28 am

Ειδικά στο σημείο που γράφεται η Τρίτη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού θα γινόταν το μεγάλο γλέντι μέσα σε μια σχολική τάξη. Φυσικά θα ήταν πολυ ωραίο να κλέψουμε μια ώρα για να πούμε όλη την ιστορία Αλλά δυστυχώς η ελληνική σχολική πραγματικότητα είναι μάλλον απαγορευτική για τέτοιου είδους "παρεκβάσεις". Τέλος συμφωνώ ότι η γνώση είναι ευχαρίστηση. Αλλά υπό προϋποθέσεις, τις οποίες ας μην αναλύσουμε εδώ.

Και φυσικά σε μια σχολική αίθουσα Πρέπει να προσέχουμε πολύ τί λέμε και πώς το λέμε και ειδικά στη γ λυκείου .Ακριβώς για να μην αγχωθούν τα παιδιά περισσότερο από όσο χρειάζεται... Καλή σας μέρα.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Οκτ 01, 2017 8:15 am

Και μια άλλη προσέγγιση μέσω ταυτοτήτων


 f^3(x)+x^2f(x)=(f(x)+x)^3-2x^2f(x)-3xf^2(x)-x^3
Επομένως \lim_{x\to 0}(f(x)+x^2f(x))=\lim_{x\to 0}[(f(x)+x)^3-2x^2f(x)-3xf(x)-x^3]=8\\ \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}(f(x)+x)^3=8\Leftrightarrow \lim_{x\to 0}f^3(x)=8\Leftrightarrow (\lim_{x\to 0}f(x))^3=2^3\Leftrightarrow \lim_{x \to 0}f(x)=2


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 01, 2017 9:54 am

Ratio έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 8:15 am

Επομένως \lim_{x\to 0}[(f(x)+x)^3-2x^2f(x)-3xf(x)-x^3]=8\\ \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}(f(x)+x)^3=8\Leftrightarrow \lim_{x\to 0}f^3(x)=8
Σωστά, αλλά ας παρατηρηθεί ότι στο παραπάνω βήμα χρησιμοποιήθηκε χωρίς να αποδειχθεί ότι \lim_{x\to 0} xf(x)= 0 (και άλλα παρόμοια).

Αν είναι να το χρησιμοποιήσουμε (η απόδειξη υπάρχει στα παραπάνω) τότε μπορούμε αμέσως από την αρχική να βγάλουμε το συμπέρασμα 8= \lim_{x\to 0}(f^3(x)+x^2f(x) ) = \lim_{x\to 0}f^3(x) . Με άλλα λόγια όλη η "φασαρία" μέσω της (f(x)+x)^3 είναι περιττή.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή και όριο

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 01, 2017 10:23 am

Ένα επιπλέον ερώτημα

Αποδείξτε ότι η \displaystyle f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 245
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Οκτ 01, 2017 2:51 pm

Θεώρησα οτι είναι ευκόλως εννοούμενο πως αυτά τα όρια είναι ίσα με το 0 γι αυτό και τα παρέλειψα
Απλά έδωσα μία διαφορετική προσέγγιση μέσω των ταυτοτήτων ,τόσο απλό

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 9:54 am
Ratio έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 8:15 am

Επομένως \lim_{x\to 0}[(f(x)+x)^3-2x^2f(x)-3xf(x)-x^3]=8\\ \Leftrightarrow \lim_{x\to 0}(f(x)+x)^3=8\Leftrightarrow \lim_{x\to 0}f^3(x)=8
Σωστά, αλλά ας παρατηρηθεί ότι στο παραπάνω βήμα χρησιμοποιήθηκε χωρίς να αποδειχθεί ότι \lim_{x\to 0} xf(x)= 0 (και άλλα παρόμοια).

Αν είναι να το χρησιμοποιήσουμε (η απόδειξη υπάρχει στα παραπάνω) τότε μπορούμε αμέσως από την αρχική να βγάλουμε το συμπέρασμα 8= \lim_{x\to 0}(f^3(x)+x^2f(x) ) = \lim_{x\to 0}f^3(x) . Με άλλα λόγια όλη η "φασαρία" μέσω της (f(x)+x)^3 είναι περιττή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες