Συναρτησιακή και όριο

#21

Ratio έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 01, 2017 2:51 pm
Θεώρησα οτι είναι ευκόλως εννοούμενο πως αυτά τα όρια είναι ίσα με το 0 γι αυτό και τα παρέλειψα
Απλά έδωσα μία διαφορετική προσέγγιση μέσω των ταυτοτήτων ,τόσο απλό

Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια.

Η έμφαση είναι σε αυτό που κοκκίνισα.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 01, 2017 9:54 am
Αν είναι να το χρησιμοποιήσουμε (η απόδειξη υπάρχει στα παραπάνω) τότε ...
...
Με άλλα λόγια όλη η "φασαρία" μέσω της είναι περιττή.

Θέλω να πω ότι από την

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}(f^3(x)+x^2f(x) ) = 8 }$

έχουμε αμέσως το

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}f^3(x) + 0 =8}$

χωρίς να κάνουμε τις "περίεργες" προσθαφαιρέσεις για να καταλήξουμε μετά από μερικά βήματα σε αυτό
που βγαίνει άκοπα με ένα μικρό βηματάκι. Τόσα απλά.

Σταμ. Γλάρος · #22

exdx έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 27, 2017 2:19 pm
Αν $\displaystyle f:R\to R$ με $\displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8$ (1) , για κάθε $\displaystyle x\in R$ , να βρείτε το $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)$

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 01, 2017 10:23 am
Ένα επιπλέον ερώτημα

Αποδείξτε ότι η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle R$

Καλησπέρα στην εκλεκτή συντροφιά. Μια προσπάθεια...
Έστω τυχαίο $x_{o} \in \mathbb{R}$ . Θα αποδείξουμε ότι η

είναι συνεχής στο $x_{o}$ .
Θέτoντας στην (1) όπου $x=x_{o}$ έχουμε: $\displaystyle {{f}^{3}}(x_{o})+{{x_{0}}^{2}}f(x_{o})=8$ (2)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει : $\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+x^2f(x)-x^2_of(x_o)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+ x^2f(x) -x^2f(x_o)+ x^2f(x_o)-x^2_of(x_o)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) + x^2 \right ] = - f(x_o) (x^2-x^2_o)$ .

Αν θεωρήσουμε την παράσταση: $f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o})$ τριώνυμο ως προς f(x)

παρατηρούμε ότι έχει αρνητική διακρίνουσα.
Συνεπώς είναι πάντα θετική και από τα παραπάνω έχουμε: $f(x)-f(x_o)=-\dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o})+x^2}$ .

Επομένως προκύπτει : $\left |f(x)-f(x_o) \right |=\left |\dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o})+x^2} \right |\leq \left | \dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ x^2}\right |$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $- \left | \dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ x^2} \right | \leq f(x)-f(x_o) \leq \left | \dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ x^2} \right |$ .
Άρα από ΚΠ έχουμε: $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow x_o}\left( f(x)-f(x_o) \right )=0 \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_o}f(x) = f(x_o)$ .
Άρα η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

Παρόμοια για την παραγωγισιμότητα αφαιρώνας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε :
$\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+x^2f(x)-x^2_of(x_o)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+ x^2 f(x) -x_o^2 f(x)+ x_o^2f(x)-x^2_of(x_o)$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) + x_ο^2 \right ] = - f(x) (x-x_o)(x+x_o)$ $\Leftrightarrow$
Για $x \neq x_o$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}= - \dfrac{-f(x)(x+x_o)}{f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) + x_o^2 }$ .
Επομένως, επειδή η

είναι συνεχής, έχουμε :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}= - \dfrac{-2x_of(x_ο)}{3f^2(x_{o}) + x_o^2 }} \in \mathbb{R}$ .
Συνεπώς η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Συναρτησιακή και όριο

Re: Συναρτησιακή και όριο

Re: Συναρτησιακή και όριο

Μέλη σε σύνδεση