Συναρτησιακή και όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12232
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή και όριο

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 01, 2017 7:21 pm

Ratio έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 2:51 pm
Θεώρησα οτι είναι ευκόλως εννοούμενο πως αυτά τα όρια είναι ίσα με το 0 γι αυτό και τα παρέλειψα
Απλά έδωσα μία διαφορετική προσέγγιση μέσω των ταυτοτήτων ,τόσο απλό
Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια.

Η έμφαση είναι σε αυτό που κοκκίνισα.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 9:54 am
Αν είναι να το χρησιμοποιήσουμε (η απόδειξη υπάρχει στα παραπάνω) τότε ...
...
Με άλλα λόγια όλη η "φασαρία" μέσω της (f(x)+x)^3 είναι περιττή.
Θέλω να πω ότι από την

\displaystyle{\lim_{x\to 0}(f^3(x)+x^2f(x) ) = 8 }

έχουμε αμέσως το

\displaystyle{\lim_{x\to 0}f^3(x) + 0 =8}

χωρίς να κάνουμε τις "περίεργες" προσθαφαιρέσεις για να καταλήξουμε μετά από μερικά βήματα σε αυτό
που βγαίνει άκοπα με ένα μικρό βηματάκι. Τόσα απλά.



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 348
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Συναρτησιακή και όριο

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Οκτ 02, 2017 7:49 pm

exdx έγραψε:
Τετ Σεπ 27, 2017 2:19 pm
Αν \displaystyle f:R\to R με \displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8 (1) , για κάθε \displaystyle x\in R, να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)
exdx έγραψε:
Κυρ Οκτ 01, 2017 10:23 am
Ένα επιπλέον ερώτημα

Αποδείξτε ότι η \displaystyle f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle R
Καλησπέρα στην εκλεκτή συντροφιά. Μια προσπάθεια...
Έστω τυχαίο x_{o} \in \mathbb{R}. Θα αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο x_{o} .
Θέτoντας στην (1) όπου x=x_{o} έχουμε: \displaystyle {{f}^{3}}(x_{o})+{{x_{0}}^{2}}f(x_{o})=8 (2)

Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει :\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+x^2f(x)-x^2_of(x_o) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+ x^2f(x) -x^2f(x_o)+ x^2f(x_o)-x^2_of(x_o) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) + x^2 \right ] = - f(x_o) (x^2-x^2_o) .

Αν θεωρήσουμε την παράσταση:   f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) τριώνυμο ως προς f(x) παρατηρούμε ότι έχει αρνητική διακρίνουσα.
Συνεπώς είναι πάντα θετική και από τα παραπάνω έχουμε: f(x)-f(x_o)=-\dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o})+x^2} .

Επομένως προκύπτει : \left |f(x)-f(x_o) \right |=\left |\dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o})+x^2} \right |\leq \left | \dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ x^2}\right | \Leftrightarrow

\Leftrightarrow - \left | \dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ x^2} \right | \leq  f(x)-f(x_o) \leq \left | \dfrac{f(x_o)(x^2-x^2_o)}{ x^2} \right | .
Άρα από ΚΠ έχουμε: \displaystyle{}\lim_{x\rightarrow x_o}\left( f(x)-f(x_o) \right )=0 \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_o}f(x) = f(x_o) .
Άρα η f είναι συνεχής στο \mathbb{R} .

Παρόμοια για την παραγωγισιμότητα αφαιρώνας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε :
\left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+x^2f(x)-x^2_of(x_o) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) \right ]+ x^2 f(x) -x_o^2 f(x)+ x_o^2f(x)-x^2_of(x_o) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left ( f(x)-f(x_{o}) \right )\left [ f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) + x_ο^2 \right ] = - f(x) (x-x_o)(x+x_o) \Leftrightarrow
Για x \neq x_o
\Leftrightarrow \dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}= - \dfrac{-f(x)(x+x_o)}{f^2(x)+f(x)f(x_{o})+f^2(x_{o}) + x_o^2 } .
Επομένως, επειδή η f είναι συνεχής, έχουμε :
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}= - \dfrac{-2x_of(x_ο)}{3f^2(x_{o}) + x_o^2 }} \in \mathbb{R}.
Συνεπώς η f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης