Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Δευ Οκτ 09, 2017 8:46 am

Καλημέρα. Αν η f έχει πεδίο ορισμού το R και ισχύει f(x+y)=f(x)e^{y}+f(y)e^{x}+a για κάθε x,y , να βρεθεί το f(0).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 09, 2017 9:34 am

ann79 έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2017 8:46 am
Καλημέρα. Αν η f έχει πεδίο ορισμού το R και ισχύει f(x+y)=f(x)e^{y}+f(y)e^{x}+a για κάθε x,y , να βρεθεί το f(0).
Καλημέρα.

Παρόμοια είχε τεθεί στις εξετάσεις 1ης δέσμης το 1997
Θέτουμε στη δοθείσα σχέση y=0 και στη συνέχεια x=y=0 και τελικά θα βγει \boxed{f(0)=0}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 09, 2017 11:18 am

Μπορούμε και να τις βρούμε.

Αν θέσουμε g(x)=f(x)e^{-x}

τότε έχουμε g(x+y)=g(x)+g(y)

γνωστή συναρτησιακή που μπορούμε να περιγράψουμε τις λύσεις .

Αν δε περιοριστούμε σε συνεχείς(η φραγμένες τοπικά η μετρήσιμες)

τότε f(x)=axe^{x}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 09, 2017 12:06 pm

Να σημειώσω ότι το a που γράφει ο Σταύρος είναι το f'(0) και όχι το a της άσκησης.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 09, 2017 12:15 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Οκτ 09, 2017 12:06 pm
Να σημειώσω ότι το a που γράφει ο Σταύρος είναι το f'(0) και όχι το a της άσκησης.
Πολύ σωστά. Ευχαριστώ Γιώργο. Το έγραψα γρήγορα και δεν το παρατήρησα.


ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Συναρτησιακή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Δευ Οκτ 09, 2017 12:18 pm

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Από τη συναρτησιακή για y=0 και x στο R προκύπτει f(0)e^{x}=f(0). Από εδώ είναι f(0)=0επειδή η σχέση e^{x}=1 δεν επαληθεύεται για κάθε x πραγματικό αλλά μόνο για x=0, έτσι το δικαιολογούμε;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 09, 2017 1:11 pm

Αν θέσουμε y=0 προκύπτει

f(x)=f(x)+f(0)e^{x}+a

δηλαδή 0=f(0)e^{x}+a.

Αν f(0)\neq 0 προκύπτει ότι e^{x} σταθερή ΑΤΟΠΟ.

Αρα f(0)=0

και a=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες