Συνεχής συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της 2 ακριβώς φορές

lefsk · #1

Υπάρχει συνεχής $\displaystyle{ f : \mathbb{R} → \mathbb{R} }$ η οποία λαμβάνει κάθε τιμή της ακριβώς $\displaystyle{ 2 }$ φορές;
Aκριβώς $\displaystyle{ 3 }$ φορές;

Εγώ θεώρησα $\displaystyle{ x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} }$ με $\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb{R} }$ τέτοια ώστε
$\displaystyle{ f(x_{1})=a }$
$\displaystyle{ f(x_{3})=a }$
$\displaystyle{ f(x_{2})=b }$
$\displaystyle{ f(x_{4})=b }$ με $\displaystyle{ a < b }$ και $\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }$
Μετά πήρα τη σχέση $\displaystyle{ a < \frac{a+b}{2} < b }$ και έκανα 3 φορές το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών στα σύνολα $\displaystyle{ [x_{1},x_{2}], [x_{2},x_{3}], [x_{3},x_{4}] }$ αλλά και πάλι δεν μου αρέσει καθόλου η λύση μου. Καμία καλύτερη ιδέα ή λύση;

mikemoke · #2

lefsk έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 2:55 pm
Υπάρχει συνεχής $\displaystyle{ f : \mathbb{R} → \mathbb{R} }$ η οποία λαμβάνει κάθε τιμή της ακριβώς $\displaystyle{ 2 }$ φορές;
Aκριβώς $\displaystyle{ 3 }$ φορές;

Εγώ θεώρησα $\displaystyle{ x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} }$ με $\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb{R} }$ τέτοια ώστε
$\displaystyle{ f(x_{1})=a }$
$\displaystyle{ f(x_{3})=a }$
$\displaystyle{ f(x_{2})=b }$
$\displaystyle{ f(x_{4})=b }$ με $\displaystyle{ a < b }$ και $\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }$
Μετά πήρα τη σχέση $\displaystyle{ a < \frac{a+b}{2} < b }$ και έκανα 3 φορές το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών στα σύνολα $\displaystyle{ [x_{1},x_{2}], [x_{2},x_{3}], [x_{3},x_{4}] }$ αλλά και πάλι δεν μου αρέσει καθόλου η λύση μου. Καμία καλύτερη ιδέα ή λύση;

Θα πρέπει να ξέρεις και ότι η

στα σύνολα $\displaystyle{ [x_{1},x_{2}], [x_{2},x_{3}], [x_{3},x_{4}] }$ είναι γνησίως αύξουσα , φθίνουσα ,αύξουσα αντίστοιχα . Τότε εξασφαλίζεις το ακριβώς $\displaystyle{ 3 }$ φορές.
Και γενικότερα αν η συνάρτηση είναι συνεχής και το πεδίο ορισμού της είναι κλειστό σύνολο τότε μπορεί να λαμβάνει κάθε τιμή ακριβώς $\displaystyle{ n }$ φορές όπου $n\in \mathbb{N}$

Αλλά αν το διάστημα είναι ανοιχτό τότε δεν μπορεί να παίρνει κάθε τιμή παραπάνω από 2 φορές . Και απο ο,τι βλέπω $\displaystyle{ f : \mathbb{R} → \mathbb{R} }$

lefsk · #3

Η λύση που έγραψα ήταν για το πρώτο ερώτημα για να δείξω ότι μπορεί να υπάρχουν παραπάνω από $\displaystyle{ 2 }$ ακριβώς λύσεις.
Κατάλαβα! Όμως εδώ αν θέλω να δώσω μια ολοκληρωμένη απάντηση στα ερωτήματα που θέτει ο καθηγητής τι πρέπει να πω;

#4

lefsk, η λύση που έδωσες δεν είναι σωστή, για πολλούς λόγους, αλλά δεν είναι της ώρας.

Επειδή το θέμα έχει συζητηθεί πάάάάρα πολλές φορές στο φόρουμ, δίνω (μόνο) μία παραπομπμή

κοίτα εδώ

αλλά ψάξε τις άλλες μόνος σου.

Με λίγα λόγια

α) δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση στο $\mathbb R$ που παίρνει όλες τις τιμές της
ακριβώς 2 φορές. Ούτε 4 ή 6 κλπ.

α) υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις στο $\mathbb R$ που παίρνουν όλες τις τιμές τους
ακριβώς 3 φορές. Επίσης 5 ή 7 κλπ.

ΥΠΟΨΗ ΤΟ ΦΟΡΟΥΜ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΙΑ ΝΑ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ, ΠΑΡΑΚΑΜΠΤΟΝΤΑΣ ΤΟΥΣ ΔΑΣΚΑΛΟΥΣ ΣΟΥ

Συνεχής συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της 2 ακριβώς φορές

Συνεχής συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της 2 ακριβώς φορές

Re: Συνεχής συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της 2 ακριβώς φορές

Re: Συνεχής συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της 2 ακριβώς φορές

Re: Συνεχής συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της 2 ακριβώς φορές

Μέλη σε σύνδεση