όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

#1

Αν

παραγωγίσιμη στο

και $f(a)\ne 0$ , να βρεθεί το όριο $\displaystyle{ \lim _{x\to \infty} \left ( \frac { f\left ( a+ \frac {1}{x} \right )}{ f(a) }\right )^x}$

( H άσκηση γενικεύει μερικές ανάλογες που είδαμε πρόσφατα το φορουμ).

sot arm · #2

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου, μια διαπραγμάτευση:
$\displaystyle{(\frac{f(a+\frac{1}{x})}{f(a)})^{x} = (1+\frac{f(a+\frac{1}{x})-f(a)}{\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{f(a)}\cdot\frac{1}{x})^{x}}$

Αν πάρω όριο στο άπειρο έχω:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac{f(a+\frac{1}{x})-f(a)}{\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{f(a)})=\frac{f'(a)}{f(a)}}$

Άρα κατά τα προηγούμενα στο forum το όριο ισούται με:
$\displaystyle{e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}}$

#3

sot arm έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 25, 2017 9:05 pm
Άρα κατά τα προηγούμενα στο forum το όριο ισούται με:
$\displaystyle{e^{\frac{f'(a)}{f(a)}}}$

Ωραιότατα και αριστοτεχνικά.

Αν θέλαμε κάποια από τα επί μέρους βήματα τότε λογαριθμίζοντας και θέτοντας y=1/x

αναγόμαστε στο όριο $y\to 0+$ του

$\displaystyle{ \frac {\ln f(a+y) - \ln f(y)}{y}}$ . Από τον ορισμό της παραγώγου τείνει στο $\displaystyle{ (\ln f(y))'= \frac{f'(y)}{f(y)}} }$ για y=a

, όπως πριν.

όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

Re: όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

Re: όριο στο άπειρο παραγωγίσιμης

Μέλη σε σύνδεση