Ασυνεχής

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4182
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ασυνεχής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 17, 2018 10:18 am

Ας ελπίσω η παρακάτω άσκηση δεν είναι εκτός φακέλου.

Έστω f:[0, 1] \rightarrow [0, 1] μία συνάρτηση με f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \mathbb{Q} \right ) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} και f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \left (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}  \right ) \right ) \subset \mathbb{Q}. Δείξατε ότι η f είναι ασυνεχής.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 614
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασυνεχής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Μαρ 17, 2018 10:58 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μαρ 17, 2018 10:18 am
Ας ελπίσω η παρακάτω άσκηση δεν είναι εκτός φακέλου.

Έστω f:[0, 1] \rightarrow [0, 1] μία συνάρτηση με f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \mathbb{Q} \right ) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} και f\left ( \left [ 0, 1 \right ]\cap \left (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}  \right ) \right ) \subset \mathbb{Q}. Δείξατε ότι η f είναι ασυνεχής.
Αν ήταν συνεχής θα είχε σταθερό σημείο x_{0}, δηλαδή θα ίσχυε f(x_{0})=x_{0}. Αν x_{0} ρητός τότε f(x_{0}) ρητός (άτοπο). Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν x_{0} άρρητος.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ασυνεχής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Μαρ 17, 2018 12:10 pm

Αλλιώς, το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του \mathbb{Q} \cup f(\mathbb{Q}), το πολύ αριθμήσιμο. Έτσι, η εικόνα του διαστήματος [0,1] δεν είναι διάστημα αφού η f δεν είναι σταθερή.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης