Ύπαρξη και ισότητα
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ύπαρξη και ισότητα
Έστω συνάρτηση συνεχής στο . Αν οι πραγματικοί αριθμοί είναι ρίζες της εξίσωσης τότε να δειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ύπαρξη και ισότητα
Τόλη καλημέρα. Κάπως κλασική αυτή η άσκηση.
Αν η είναι σταθερή, έστω τότε
δηλαδή
Σε αυτή την περίπτωση οποιοδήποτε ικανοποιεί τη ζητούμενη ισότητα.
Έστω η δεν είναι σταθερή. Ως συνεχής συνάρτηση θα παίρνει στο μέγιστη και ελάχιστη τιμή, όπου . Ισχύουν τότε τα παρακάτω:
Στην μπορεί να ισχύει το πολύ μια ισότητα. Αν δεν ισχύει καμία τότε από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και
την έχουμε ότι υπάρχει για το οποίο ισχύει η προς απόδειξη ισότητα.
Αν ισχύει μια από τις δύο ισότητες, έστω η αριστερή, τότε από τις σχέσεις στις αγκύλες είναι φανερό ότι θα ισχύει
οπότε οποιοσδήποτε από τους μπορεί να παίξει τον ρόλο
του εσωτερικού Με ίδιο σκεπτικό αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση όπου ισχύει μόνο η δεξιά ισότητα.
Αν η είναι σταθερή, έστω τότε
δηλαδή
Σε αυτή την περίπτωση οποιοδήποτε ικανοποιεί τη ζητούμενη ισότητα.
Έστω η δεν είναι σταθερή. Ως συνεχής συνάρτηση θα παίρνει στο μέγιστη και ελάχιστη τιμή, όπου . Ισχύουν τότε τα παρακάτω:
Στην μπορεί να ισχύει το πολύ μια ισότητα. Αν δεν ισχύει καμία τότε από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και
την έχουμε ότι υπάρχει για το οποίο ισχύει η προς απόδειξη ισότητα.
Αν ισχύει μια από τις δύο ισότητες, έστω η αριστερή, τότε από τις σχέσεις στις αγκύλες είναι φανερό ότι θα ισχύει
οπότε οποιοσδήποτε από τους μπορεί να παίξει τον ρόλο
του εσωτερικού Με ίδιο σκεπτικό αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση όπου ισχύει μόνο η δεξιά ισότητα.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ύπαρξη και ισότητα
Λάμπρο,
έχω την εντύπωση πως δεν χρειάζεται να διακρίνουμε περιπτώσεις αν η σταθερή ή μη. Αντιμετωπίζονται όλα ενιαία.
έχω την εντύπωση πως δεν χρειάζεται να διακρίνουμε περιπτώσεις αν η σταθερή ή μη. Αντιμετωπίζονται όλα ενιαία.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες