Ψυχραιμία !

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ψυχραιμία !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 19, 2018 2:39 pm

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : \displaystyle g(x)=\sqrt{1+x} και \displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους και να δείξετε ότι η \displaystyle f είναι άρτια .
β) Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)\ge 2 και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f .
γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της \displaystyle f .
δ) Να ορίσετε την αντίστροφη της \displaystyle h(x)=f(g(-x))


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1545
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Ψυχραιμία !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Ιουν 20, 2018 1:00 am

exdx έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 2:39 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : \displaystyle g(x)=\sqrt{1+x} και \displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους και να δείξετε ότι η \displaystyle f είναι άρτια .
β) Να δείξετε ότι \displaystyle f(x)\ge 2 και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών της \displaystyle f .
γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της \displaystyle f .
δ) Να ορίσετε την αντίστροφη της \displaystyle h(x)=f(g(-x))
γειά σου Γιώργη...μιά προσπάθεια με ψυχραιμία....

α) Για να ορίζεται η \displaystyle g(x)=\sqrt{1+x} πρέπει και αρκεί 1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1 άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το

διάστημα A=[-1,\,+\infty )και για να ορίζεται η \displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)} πρέπει και αρκεί για

x\in Aτο -x\in A και g(-x)\ne 0 και g(x)\ne 0 που ισοδύναμα έχουμε x\ge -1 και -x\ge -1\Leftrightarrow x\le 1 και

x\ne -1 και -x\ne -1\Leftrightarrow x\ne 1 και τελικά -1<x<1 επομένως πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα B=(-1,\,1)

Τώρα για κάθε x\in (-1,\,1) το -x\in (-1,\,1) και f(-x)=\frac{g(-x)}{g(x)}+\frac{g(x)}{g(-x)}=f(x) άρα η \displaystyle f είναι άρτια .

β) Θέλουμε f(x)\ge 2\Leftrightarrow \frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}\ge 2\Leftrightarrow \frac{{{(g(x)-g(-x))}^{2}}}{g(x)g(-x)}\ge 0(1)

για κάθε x\in (-1,\,1) και αφού {{(g(x)-g(-x))}^{2}}για κάθε x\in (-1,\,1) και για κάθε x\in (-1,\,1),\,\,\,g(x)>0 η (1) ισχύει

γ) Κατ αρχάς f(0)=\frac{g(0)}{g(0)}+\frac{g(0)}{g(0)} και άρα f(x)\ge f(0) επομένως η συνάρτηση \displaystyle f έχει ελάχιστη τιμή το

f(0)=2 και επειδή f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{-x+1}}+\frac{\sqrt{-x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} και

\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=+\infty και

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=+\infty

και είναι συνεχής , το σύνολο τιμών της \displaystyle f είναι το σύνολο f(B)=[2,\,+\infty )

Για -1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Rightarrow 1>x_{1}^{2}>x_{2}^{2}\ge 0\Rightarrow -1<-x_{1}^{2}<-x_{2}^{2}\le 0\Rightarrow

0<1-x_{1}^{2}<1-x_{2}^{2}\le 1\Rightarrow 0<\sqrt{1-x_{1}^{2}}<\sqrt{1-x_{2}^{2}}\le 1\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{1-x_{1}^{2}}}>\frac{2}{\sqrt{1-x_{2}^{2}}}\ge 2\Rightarrow

f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο (-1,\,0] και με ανάλογο τρόπο δείχνουμε για 0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<1 ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο [0,\,1)

δ) Κατ αρχάς για να ορίζεται η \displaystyle h(x)=f(g(-x)) πρέπει να υπάρχουν x\in R που -x\ge -1\Leftrightarrow x\le 1 και

g(-x)\in (-1,\,1)\Leftrightarrow -1<\sqrt{-x+1}<1\Leftrightarrow x>0 επομένως πεδίο ορισμού της \displaystyle h(x)=f(g(-x)) είναι το διάστημα

\Delta =(0,\,1) και επιπλέον για {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in (0,\,1)με h({{x}_{1}})=h({{x}_{2}})\Rightarrow f(g(-{{x}_{1}}))=f(g(-{{x}_{2}})) και

επειδή -{{x}_{1}},-{{x}_{2}}\in (-1,\,0) και g(-{{x}_{1}}),g(-{{x}_{2}})\in (0,\,1) που η f είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1' προκύπτει ότι

g(-{{x}_{1}})=g(-{{x}_{2}})\Rightarrow -{{x}_{1}}=-{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}( η g είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της )

άρα η h είναι αντιστρέψιμη με {{h}^{-1}}:h((0,1))\to (0,\,1) και αφού για x\in \Delta =(0,\,1) ή

0<x<\,1\Rightarrow 0>-x>-1\overset{g:\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,g(0)>g(-x)>g(-1)\Rightarrow 1>g(-x)>0 δηλαδή g(-x)\in (0,\,1)

και f((0,\,1))=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))=(2,\,+\infty ) είναι

h((0,1))=(2,\,+\infty ) επομένως {{h}^{-1}}:(-2,\,+\infty )\to (0,\,1) και επειδή f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\,\,x\in (-1,\,1) και

g(-x)=\sqrt{1-x} είναι h(x)=\frac{2}{\sqrt{1-{{g}^{2}}(-x)}}=\frac{2}{\sqrt{x}}

και λύνοντας την εξίσωση h(x)=y\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 
  & x\in (0,\,1) \\  
 & y\in (2,\,+\infty ) \\  
 & \frac{2}{\sqrt{x}}=y \\  
\end{matrix} \right. έχουμε από

\frac{2}{\sqrt{x}}=y\Leftrightarrow \frac{4}{x}={{y}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{4}{{{y}^{2}}}={{h}^{-1}}(y) δηλαδή

{{h}^{-1}}(y)=\frac{4}{{{y}^{2}}},\,\,y\in (2,\,\,+\infty )

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες