Ψυχραιμία !

#1

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : $\displaystyle g(x)=\sqrt{1+x}$ και $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}$
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους και να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι άρτια .
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)\ge 2$ και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .
γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της $\displaystyle f$ .
δ) Να ορίσετε την αντίστροφη της $\displaystyle h(x)=f(g(-x))$

#2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 19, 2018 2:39 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : $\displaystyle g(x)=\sqrt{1+x}$ και $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}$
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους και να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι άρτια .
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)\ge 2$ και κατόπιν να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ .
γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της $\displaystyle f$ .
δ) Να ορίσετε την αντίστροφη της $\displaystyle h(x)=f(g(-x))$

γειά σου Γιώργη...μιά προσπάθεια με ψυχραιμία....

α) Για να ορίζεται η $\displaystyle g(x)=\sqrt{1+x}$ πρέπει και αρκεί $1+x\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1$ άρα το πεδίο ορισμού της

είναι το

διάστημα $A=[-1,\,+\infty )$ και για να ορίζεται η $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}$ πρέπει και αρκεί για

$x\in A$ το $-x\in A$ και $g(-x)\ne 0$ και $g(x)\ne 0$ που ισοδύναμα έχουμε $x\ge -1$ και $-x\ge -1\Leftrightarrow x\le 1$ και

$x\ne -1$ και $-x\ne -1\Leftrightarrow x\ne 1$ και τελικά -1<x<1

επομένως πεδίο ορισμού της

είναι το διάστημα $B=(-1,\,1)$

Τώρα για κάθε $x\in (-1,\,1)$ το $-x\in (-1,\,1)$ και $f(-x)=\frac{g(-x)}{g(x)}+\frac{g(x)}{g(-x)}=f(x)$ άρα η $\displaystyle f$ είναι άρτια .

β) Θέλουμε $f(x)\ge 2\Leftrightarrow \frac{g(x)}{g(-x)}+\frac{g(-x)}{g(x)}\ge 2\Leftrightarrow \frac{{{(g(x)-g(-x))}^{2}}}{g(x)g(-x)}\ge 0$ (1)

για κάθε $x\in (-1,\,1)$ και αφού ${{(g(x)-g(-x))}^{2}}$ για κάθε $x\in (-1,\,1)$ και για κάθε $x\in (-1,\,1),\,\,\,g(x)>0$ η (1) ισχύει

γ) Κατ αρχάς $f(0)=\frac{g(0)}{g(0)}+\frac{g(0)}{g(0)}$ και άρα $f(x)\ge f(0)$ επομένως η συνάρτηση $\displaystyle f$ έχει ελάχιστη τιμή το

f(0)=2

και επειδή $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{-x+1}}+\frac{\sqrt{-x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ και

$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=+\infty$ και

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=+\infty$

και είναι συνεχής , το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ είναι το σύνολο $f(B)=[2,\,+\infty )$

Για $-1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Rightarrow 1>x_{1}^{2}>x_{2}^{2}\ge 0\Rightarrow -1<-x_{1}^{2}<-x_{2}^{2}\le 0\Rightarrow$

$0<1-x_{1}^{2}<1-x_{2}^{2}\le 1\Rightarrow 0<\sqrt{1-x_{1}^{2}}<\sqrt{1-x_{2}^{2}}\le 1\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{1-x_{1}^{2}}}>\frac{2}{\sqrt{1-x_{2}^{2}}}\ge 2\Rightarrow$

$f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(-1,\,0]$ και με ανάλογο τρόπο δείχνουμε για $0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}<1$ ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,1)$

δ) Κατ αρχάς για να ορίζεται η $\displaystyle h(x)=f(g(-x))$ πρέπει να υπάρχουν $x\in R$ που $-x\ge -1\Leftrightarrow x\le 1$ και

$g(-x)\in (-1,\,1)\Leftrightarrow -1<\sqrt{-x+1}<1\Leftrightarrow x>0$ επομένως πεδίο ορισμού της $\displaystyle h(x)=f(g(-x))$ είναι το διάστημα

$\Delta =(0,\,1)$ και επιπλέον για ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in (0,\,1)$ με $h({{x}_{1}})=h({{x}_{2}})\Rightarrow f(g(-{{x}_{1}}))=f(g(-{{x}_{2}}))$ και

επειδή $-{{x}_{1}},-{{x}_{2}}\in (-1,\,0)$ και $g(-{{x}_{1}}),g(-{{x}_{2}})\in (0,\,1)$ που η

είναι γνήσια αύξουσα άρα και '1-1'

προκύπτει ότι

$g(-{{x}_{1}})=g(-{{x}_{2}})\Rightarrow -{{x}_{1}}=-{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ ( η

είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της )

άρα η

είναι αντιστρέψιμη με ${{h}^{-1}}:h((0,1))\to (0,\,1)$ και αφού για $x\in \Delta =(0,\,1)$ ή

$0<x<\,1\Rightarrow 0>-x>-1\overset{g:\nearrow }{\mathop{\Rightarrow }}\,g(0)>g(-x)>g(-1)\Rightarrow 1>g(-x)>0$ δηλαδή $g(-x)\in (0,\,1)$

και $f((0,\,1))=(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x),\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x))=(2,\,+\infty )$ είναι

$h((0,1))=(2,\,+\infty )$ επομένως ${{h}^{-1}}:(-2,\,+\infty )\to (0,\,1)$ και επειδή $f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\,\,x\in (-1,\,1)$ και

$g(-x)=\sqrt{1-x}$ είναι $h(x)=\frac{2}{\sqrt{1-{{g}^{2}}(-x)}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$

και λύνοντας την εξίσωση $h(x)=y\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} & x\in (0,\,1) \\ & y\in (2,\,+\infty ) \\ & \frac{2}{\sqrt{x}}=y \\ \end{matrix} \right.$ έχουμε από

$\frac{2}{\sqrt{x}}=y\Leftrightarrow \frac{4}{x}={{y}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{4}{{{y}^{2}}}={{h}^{-1}}(y)$ δηλαδή

${{h}^{-1}}(y)=\frac{4}{{{y}^{2}}},\,\,y\in (2,\,\,+\infty )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Ψυχραιμία !

Ψυχραιμία !

Re: Ψυχραιμία !

Μέλη σε σύνδεση