Συναρτησιακή και 1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Συναρτησιακή και 1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Κυρ Ιούλ 01, 2018 9:17 pm

Μια συνάρτηση f:R\rightarrow R έχει την ιδιότητα f(xf(y)+x)=xy+f(x) για κάθε x,y\epsilon R . Να δείξετε ότι
α) η f είναι 1-1.
β) f(0)=0 και f(R)=R
γ) f(x)=x για κάθε x πραγματικό ή f(x)=-x για κάθε x πραγματικό.

Από το βιβλίο "Μαθηματικά Γ1, Γ λυκείου", των κ.Στεργίου, Νάκη.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)

Λέξεις Κλειδιά:
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Συναρτησιακή και 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Ιούλ 01, 2018 10:30 pm

pito έγραψε:
Κυρ Ιούλ 01, 2018 9:17 pm
Μια συνάρτηση f:R\rightarrow R έχει την ιδιότητα f(xf(y)+x)=xy+f(x) για κάθε x,y\epsilon R . Να δείξετε ότι
α) η f είναι 1-1.
β) f(0)=0 και f(R)=R
γ) f(x)=x για κάθε x πραγματικό ή f(x)=-x για κάθε x πραγματικό.

Από το βιβλίο "Μαθηματικά Γ1, Γ λυκείου", των κ.Στεργίου, Νάκη.
1),2)Έστω x_1,x_2\in\mathbb{R}:x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)

x=x_1 , y=x_2 \Rightarrow f(x_1f(x_2)+x_1)=x_1x_2+f(x_1)\Rightarrow f(x_1f(x_1)+x_1)=x_1x_2+f(x_1)

x=x_1=y\Rightarrow f(x_1f(x_1)+x_1)=x_1^2+f(x_1)

Tότε x_1x_2+f(x_1)=x_1^2+f(x-1)\Rightarrow x_1(x_2-x_1)=0\Rightarrow x_1=0\vee x_1=x_2
Αν x_1=x_2 ΑTOΠΟ .Άρα f 1-1

 x_1=0 τότε x_2\neq 0 και f(x_2)=f(0)

Έστω y_0: f(y_0)=0 \Rightarrow f(x)=xy_0+f(x)\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow xy_0=0\forall x\neq 0\Rightarrow y_0=0\Rightarrow f(0)=0
y=x_2\Rightarrow f(xf(x_2)+x)=xx_2+f(x)\Rightarrow f(xf(0)+x)=xx_2+f(x)\Rightarrow xx_2=0\forall x\neq 0\Rightarrow x_2=0=x_1
ΑΤΟΠΟ
Άρα f 1-1.

3)y=f^{-1}(-1)\Rightarrow f(-x+x)=xf^{-1}(-1)+f(x)\Rightarrow f(x)=-f^{-1}(-1)x
Θέτω -f^{-1}(-1)=a
Άρα f(x)=ax \forall x \inR

Με αντικατάσταση προκύπτει a^2=1 και τα υπόλοιπα έπονται...


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6097
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συναρτησιακή και 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Ιούλ 02, 2018 9:21 am

Υπάρχουν περιττά δεδομένα στην άσκηση. Αρκεί το \displaystyle{f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.}

Υπάρχει \displaystyle{a\in \mathbb{R},} ώστε \displaystyle{f(a)=-1.} Θέτοντας \displaystyle{y\to a,} προκύπτει

\displaystyle{f(0)=ax+f(x),} δηλαδή \displaystyle{f(x)=ax+b,~~a,b\in \mathbb{R}.}

Με αντικατάσταση στη συναρτησιακή σχέση έχουμε

\displaystyle{a^2xy+abx+ax+b=xy+ax+b~~\forall x,y\in \mathbb{R}.}

Άρα \displaystyle{a^2=1~\wedge ab=0.} Επομένως \displaystyle{a=\pm 1,b=0.}


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1951
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή και 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 02, 2018 9:59 am

Μπορούμε να βρούμε και το a.

Θέτοντας x=1 παίρνουμε

f(f(y)+1)=y+f(1)

Αυτή μας δίνει άμεσα ότι είναι 1-1 και f(\mathbb{R})=\mathbb{R}

Επίσης είναι a=f(-1-f(1))+1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης