Με απλά υλικά (12)

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (12)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Αύγ 04, 2018 9:53 am

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι περιττή
β. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με απλά υλικά (12)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 04, 2018 10:54 am

exdx έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 9:53 am
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο \displaystyle f(x)=\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι περιττή
β. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
Γεια σου Γιώργη!

Ξεκινάω...
α) \displaystyle x + \sqrt {{x^2} + 1}  > 0 που προφανώς ισχύει για x\ge 0.
Αν x<0, τότε από \displaystyle \sqrt {{x^2} + 1}  >  - x > 0 \Rightarrow {x^2} + 1 > {x^2} που ισχύει. Άρα πεδίο ορισμού είναι το \mathbb{R}

Για κάθε x\in \mathbb{R}, \displaystyle f(x) + f( - x) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \ln \left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \ln ({x^2} + 1 - {x^2}) = \ln 1 = 0

που σημαίνει ότι η f είναι περιττή.

β) Αν \displaystyle 0 < {x_1} < {x_2}, εύκολα προκύπτει ότι f(x_1)<f(x_2).

Αν \displaystyle {x_1} < {x_2} < 0 \Leftrightarrow  - {x_1} >  - {x_2} > 0 \Leftrightarrow f( - {x_1}) > f( - {x_2}) \Leftrightarrow  - f({x_1}) >  - f({x_2}) \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})

Η f είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle ( - \infty ,0],[0, + \infty ), άρα αν

\displaystyle {x_1} < 0 < {x_2} \Leftrightarrow f({x_1}) < f(0) < f({x_2}), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.

γ) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και "1-1", άρα αντιστρέψιμη. Θα βρω πρώτα το πεδίο ορισμού της αντίστροφης που είναι το σύνολο τιμών της f.

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to  + \infty } \ln u =  + \infty , όπου \displaystyle {u = x + \sqrt {{x^2} + 1} }

\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{(x + \sqrt {{x^2} + 1} )(\sqrt {{x^2} + 1}  - x)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{ - x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1} \right)}} =0

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \ln u =  - \infty . άρα το πεδίο ορισμού της \displaystyle {f^{ - 1}} είναι το \mathbb{R}.

Τώρα θα βρούμε τον τύπο της: \displaystyle f(x) = y \Leftrightarrow \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = y \Leftrightarrow {e^y} = x + \sqrt {{x^2} + 1},

απ' όπου τελικά παίρνω \displaystyle x = \frac{{{e^{2y}} - 1}}{{2{e^y}}}. Επομένως: \boxed{{f^{ - 1}}(x) = \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{2{e^x}}}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12635
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με απλά υλικά (12)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 04, 2018 11:34 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 10:54 am
Θα επανέλθω για το γ) ερώτημα αν δεν απαντηθεί.
Ας το δούμε, επειδή έχει ενδιαφέρον. Πριν από αυτό ας προσθέσω ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι η αντίστροφη
πολλή γνωστής στοιχειώδους συνάρτησης (βλέπε παρακάτω), που όμως δεν την μελετάμε στο Λύκειο.

Έστω y=f(x) = \ln (x+\sqrt {x^2+1}). Από την περιττότητα είναι -y=f(-x) = \ln (-x+\sqrt {x^2+1}). Οι δύο γράφονται

\displaystyle{ e^{y} = x+\sqrt {x^2+1},  e^{-y} = -x+\sqrt {x^2+1}}, Αφαιρώντας έπεται αμέσως \displaystyle{ \frac {e^{y} -  e^{-y} }{2}=x}.

Με άλλα λόγια η αντίστροφη είναι η f^{-1}(x)= \frac {1 }{2}(e^{x} -  e^{-x}) στο \mathbb R (άμεσο).

Σχολιάζω ότι πρόκειται για την \sinh x (υπερβολικό ημίτονο).

Ουπς. Ο Γιώργος έκανε προσθήκη στην απάντησή του, όσο έγραφα. Το αφήνω αν και περιττό.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες