Με απλά υλικά (12)
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Με απλά υλικά (12)
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι περιττή
β. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι περιττή
β. Να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία
γ. Να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Με απλά υλικά (12)
Γεια σου Γιώργη!
Ξεκινάω...
α) που προφανώς ισχύει για
Αν τότε από που ισχύει. Άρα πεδίο ορισμού είναι το
Για κάθε
που σημαίνει ότι η είναι περιττή.
β) Αν εύκολα προκύπτει ότι
Αν
Η είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα άρα αν
δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο
γ) Αφού η είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και άρα αντιστρέψιμη. Θα βρω πρώτα το πεδίο ορισμού της αντίστροφης που είναι το σύνολο τιμών της
όπου
άρα το πεδίο ορισμού της είναι το
Τώρα θα βρούμε τον τύπο της:
απ' όπου τελικά παίρνω Επομένως:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με απλά υλικά (12)
Ας το δούμε, επειδή έχει ενδιαφέρον. Πριν από αυτό ας προσθέσω ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι η αντίστροφη
πολλή γνωστής στοιχειώδους συνάρτησης (βλέπε παρακάτω), που όμως δεν την μελετάμε στο Λύκειο.
Έστω . Από την περιττότητα είναι . Οι δύο γράφονται
, Αφαιρώντας έπεται αμέσως .
Με άλλα λόγια η αντίστροφη είναι η στο (άμεσο).
Σχολιάζω ότι πρόκειται για την (υπερβολικό ημίτονο).
Ουπς. Ο Γιώργος έκανε προσθήκη στην απάντησή του, όσο έγραφα. Το αφήνω αν και περιττό.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες