Ρίζα εξίσωσης

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ann79
Δημοσιεύσεις: 201
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Ρίζα εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τρί Σεπ 04, 2018 11:16 am

Καλημέρα :logo:

Έστω η συνάρτηση f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}. Να λυθεί η εξίσωση f^{-1}(\frac{1}{1-e}+2-f(lnx))=-1.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3500
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ρίζα εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 04, 2018 11:38 am

ann79 έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 11:16 am
Καλημέρα :logo:

Έστω η συνάρτηση f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}. Να λυθεί η εξίσωση f^{-1}(\frac{1}{1-e}+2-f(lnx))=-1.

Καταρχάς παρατηρούμε ότι η f ορίζεται στο \mathbb{R}^* και είναι γνήσια φθίνουσα αφού γράφεται:

\displaystyle{f(x)  =\frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{e^x-1} + 1}
Οπότε η εξίσωση γράφεται:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f^{-1}\left ( \frac{1}{1-e} +2-f \left ( \ln x \right ) \right ) =-1 &\Leftrightarrow f^{-1} \left ( \frac{1}{1-e} + 2 - f \left ( \ln x \right ) \right )= f^{-1} \left ( \frac{1}{1-e} \right ) \\  
 &\Leftrightarrow \frac{1}{1-e} + 2 - f \left ( \ln x \right ) = \frac{1}{1-e} \\  
 &\Leftrightarrow f\left ( \ln x \right ) = 2 \\  
 &\Leftrightarrow f \left ( \ln x \right ) = f \left ( 2 \right ) \\  
 &\Leftrightarrow x=2 
\end{aligned}}
η λύση της οποίας γίνεται δεκτή.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ann79
Δημοσιεύσεις: 201
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Re: Ρίζα εξίσωσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Τρί Σεπ 04, 2018 12:34 pm

Καλησπέρα, ευχαριστώ για την απάντηση.

Για να πούμε όμως ότι η λύση x=2 είναι δεκτή, δεν πρέπει πρώτα να βρούμε το πεδίο ορισμού της f(lnx)( που είναι το
(0,1)\cup (1,+\infty)) αλλά και να πούμε και ότι όλο το \frac{1}{1-e}+2-f(lnx) να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f^{-1} (που βρίσκω ότι είναι (-\infty,0)\cup (1,+\infty));;

O λόγος της ανάρτησής μου είναι το παραπάνω και πόσο η παράλειψή του δεν θα "κόστιζε" σε ένα επίσημο γραπτό.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3500
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ρίζα εξίσωσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Σεπ 04, 2018 12:45 pm

Προφανώς και πρέπει να τα πούμε. Δεν έγραψα με λεπτομέρειες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1950
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζα εξίσωσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 6:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 11:38 am
ann79 έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 11:16 am
Καλημέρα :logo:

Έστω η συνάρτηση f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-1}. Να λυθεί η εξίσωση f^{-1}(\frac{1}{1-e}+2-f(lnx))=-1.

Καταρχάς παρατηρούμε ότι η f ορίζεται στο \mathbb{R}^* και είναι γνήσια φθίνουσα αφού γράφεται:

\displaystyle{f(x)  =\frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{e^x-1} + 1}

Για κοίταξε πάλι το γνησίως φθίνουσα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης