Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 21, 2018 11:40 pm

Εστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει

Για κάθε x,y\in \mathbb{R}

f^{2}(x)-2f(x)f(x+y)+(y^{2}+1)f^{2}(x+y)\leq 2y^{2}

Να βρεθεί αν υπάρχει το

\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})+2}{f(x)+2}

Σημείωση.Η ίδια με κάποιες παραπάνω προυποθέσεις είχε τεθεί από τον Νίκο Ζανταρίδη
στο Μαθηματικό Εργαστήρι.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συναρτησιακή ανίσωση-όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Σεπ 22, 2018 1:02 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Σεπ 21, 2018 11:40 pm
Εστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
για την οποία ισχύει

Για κάθε x,y\in \mathbb{R}

f^{2}(x)-2f(x)f(x+y)+(y^{2}+1)f^{2}(x+y)\leq 2y^{2}

Να βρεθεί αν υπάρχει το

\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})+2}{f(x)+2}

Σημείωση.Η ίδια με κάποιες παραπάνω προυποθέσεις είχε τεθεί από τον Νίκο Ζανταρίδη
στο Μαθηματικό Εργαστήρι.
Γράφουμε \dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})+2}{f(x)+2}= \dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})-f(x)+f(x)+2}{f(x)+2}= 1+\dfrac{f(\sqrt{x^{2}+1})-f(x)}{f(x)+2}.

Από τη δοσμένη εφαρμόζωντας τη γνωστή ταυτότητα και διαιρώντας κάθε μέλος με y^2,y\neq 0 παίρνουμε

\left (\frac{f(x)-f(x+y)}{y} \right )^2+f^2(x+y)\leq 2 για κάθε x,y \in R, y\neq 0. Αλλάζουμε για ευκολία

τον συμβολισμό σε a=x,b=x+y οπότε η προηγούμενη γράφεται \left (\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )^2+f^2(b)\leq 2

για κάθε a,b \in R, a\neq b. Από την τελευταία παίρνουμε για κάθε b \in R :f^2(b)\leq 2\Rightarrow |f(b)|\leq \sqrt{2}

οπότε έχει νόημα(σχολική ύλη) να αναζητήσουμε το όριο (δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής σε περιοχή του +\infty)

Επίσης παίρνουμε \left (\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right )^2\leq 2\Rightarrow |f(a)-f(b)|\leq \sqrt{2}|a-b|.

Για a=\sqrt{x^2+1},b=x (εύκολα ελέγχουμε ότι ισχύει a\neq b) παίρνουμε

\lim_{x\rightarrow +\infty }|\sqrt{x^2+1}-x|= \lim_{x\rightarrow +\infty }|\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}|=0 και

επομένως \lim_{x\rightarrow +\infty }|f(\sqrt{x^2+1})-f(x)|=0\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (f(\sqrt{x^2+1})-f(x) \right )=0

Άρα \left |\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{f(x)+2} \right |\leq \left |\frac{f(\sqrt{x^2+1})-f(x)}{2-\sqrt{2}} \right |\rightarrow 0

Το ζητούμενο όριο λοιπόν είναι 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες