Τριγωνομετρικό όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρικό όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 23, 2018 11:54 am

Ας υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \left( \sin x \right)^{1/\cos x}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικό όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 23, 2018 1:52 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 23, 2018 11:54 am
Ας υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \left( \sin x \right)^{1/\cos x}}
Απάντηση: 1.

Ο λογάριθμος της δοθείσας είναι \displaystyle{ \frac {\ln (\sin x)}{\cos x}}. Το όριο είναι περίπτωση 0/0 οπότε βοηθά ο L' Hosptal που μας οδηγεί στο \displaystyle{-\frac {\cos x}{\sin ^2 x}\to -\frac {0}{1^2}=0}, και λοιπά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικό όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 23, 2018 1:57 pm

Σημειώνω ότι το όριο μπορεί να βρεθεί και χωρίς l' Hospital (άλλη ιδέα) αλλά το αφήνω για άλλους.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1534
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Τριγωνομετρικό όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Σεπ 23, 2018 3:43 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 23, 2018 11:54 am
Ας υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \left( \sin x \right)^{1/\cos x}}
...γεια σου :logo: ....

Χωρίς DLH όμως με χρησιμοποίηση της γνωστής (..πλέον) ανισότητας \ln x\le x-1,\,\,x>0

και με εφαρμογή για όπου x το \frac{1}{x} έχουμε ότι

1-\frac{1}{x}\le \ln x\le x-1,\,\,x>0 και επειδή όπως ο Μιχάλης {{\left( \sin x \right)}^{1/\cos x}}={{e}^{\frac{\ln (\sin x)}{\cos x}}}(1)

ισχύει κοντά στο \frac{\pi }{2} ότι 1-\frac{1}{\sin x}\le \ln (sinx)\le \sin x-1,x>0 και όταν

x<\frac{\pi }{2} ισχύει ότι \frac{\sin x-1}{cosx\sin x}\le \ln (sinx)\le \frac{\sin x-1}{\cos x}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{2}}x-1}{cosx\sin x(\sin x+1)}\le \ln (sinx)\le \frac{{{\sin }^{2}}x-1}{\cos x(\sin x+1)}

\frac{-{{\cos }^{2}}x}{cosx\sin x(\sin x+1)}\le \frac{ln(sinx)}{\cos x}\le \frac{-{{\cos }^{2}}x}{\cos x(\sin x+1)} ή

\frac{-\cos x}{\sin x(\sin x+1)}\le \frac{ln(sinx)}{\cos x}\le \frac{-\cos x}{\sin x+1} και επειδή

\underset{x\to {{(\frac{\pi }{2})}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\cos x}{\sin x(\sin x+1)}=\underset{x\to {{(\frac{\pi }{2})}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\cos x}{\sin x+1}=0

από κριτήριο παρεμβολής έχουμε

\underset{x\to {{(\frac{\pi }{2})}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(\sin x)}{\cos x}=0 και ανάλογα όταν

x>\frac{\pi }{2} \underset{x\to {{(\frac{\pi }{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(sinx)}{\cos x}=0 άρα

\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \sin x \right)}^{1/\cos x}}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{\ln (\sin x)}{\cos x}}}={{e}^{0}}=1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τριγωνομετρικό όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 23, 2018 6:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 23, 2018 11:54 am
Ας υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow \pi/2} \left( \sin x \right)^{1/\cos x}}
Και αλλιώς, χάριν ποικιλίας: Παίρνοντας λογάριθμο αναγόμαστε, ισοδύναμα, στην εύρεση του \displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \pi/2} \frac {\ln ( \sin x ) 
 } {\cos x}.}

Γράφοντας \cos x =y οπότε κοντά στο \pi /2 είναι \sin x \ge 0 και άρα \sin x = + \sqrt {1-y^2}, το ζητούμενο όριο είναι το

\displaystyle{ \lim_{y \rightarrow 0} \frac {\ln \sqrt {1-y^2}}{y}=  \lim_{y \rightarrow 0} \frac {\ln \sqrt {1-y} +\ln \sqrt {1+y} }{y}}=  \frac {1}{2}\lim_{y \rightarrow 0} \frac {\ln (1-y) } {y}+ \frac {1}{2}\lim_{y \rightarrow 0} \frac {\ln (1+y) } {y}

Τα επιμέρους όρια βγαίνουν είτε α) με l' Hospital (απλό - το αφήνω), είτε β) με χρήση ανισοτήτων (το αφήνω) ή γ) με ορισμό της παραγώγου. Για να μην το αφήσω, είναι, για όφελος των μαθητών μας,

\displaystyle{ \lim_{y \rightarrow 0} \frac {\ln (1+y) } {y} =  \lim_{y \rightarrow 0} \frac {\ln (1+y)- \ln 1 } {y} =\lim_{y \rightarrow 0} \frac {f(y)-f(0) } {y-0}= f'(0)=1} και όμοια το άλλο όριο είναι -1. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης