Μονοτονία χωρίς παραγώγους

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

ann79
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Μονοτονία χωρίς παραγώγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Κυρ Σεπ 23, 2018 1:15 pm

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f(x)=ln(\frac{x}{1-x})-x,  x\epsilon (0,1) χωρίς τη χρήση παραγώγων.

Αλλαγή στον τύπο της συνάρτησης έπειτα π.μ του κ.Κακκαβά και το σχόλιο του κ.Παπαδόπουλου, τους οποίους και ευχαριστώ.
τελευταία επεξεργασία από ann79 σε Κυρ Σεπ 23, 2018 2:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1959
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μονοτονία χωρίς παραγώγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 23, 2018 1:21 pm

ann79 έγραψε:
Κυρ Σεπ 23, 2018 1:15 pm
Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f(x)=ln(\frac{x}{x-1})-x,  x\epsilon (0,1) χωρίς τη χρήση παραγώγων.
Κάτι δεν πάει καλά.

Για x\in (0,1) είναι \frac{x}{x-1}< 0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1959
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μονοτονία χωρίς παραγώγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 23, 2018 3:15 pm

Θα δώσω μια λύση χωρίς παραγώγους βασιζόμενος στην ανισότητα

\ln x> 1-\frac{1}{x},x>0,x\neq 1

Η κλασσική απόδειξη της παραπάνω χρησιμοποιεί παραγώγους όποτε
μπορεί να ειπωθεί ότι έγινε μια τρύπα στο νερό.

Δεν είναι όμως έτσι.Γιατί αν ορίσουμε τον λογάριθμο με αυστηρό τρόπο π.χ

\ln x=\lim_{n\rightarrow \infty }n(\sqrt[n]{x}-1)

τότε με λίγη δουλεία αποδεικνύεται η ανισότητα.

Θα δείξουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα

Εστω 0<x_{1}<x_{2}<1

Η f(x_{1})<f(x_{2}) είναι ισοδύναμη με την

\ln \dfrac{x_{2}(1-x_{1})}{x_{1}(1-x_{2})}>x_{2}-x_{1}


που ισχύει γιατί η παράσταση μέσα στον λογάριθμο είναι διαφορετική του 1 και


\ln \dfrac{x_{2}(1-x_{1})}{x_{1}(1-x_{2})}>1-\dfrac{x_{1}(1-x_{2})}{x_{2}(1-x_{1})}=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}(1-x_{1})}> x_{2}-x_{1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες