Συναρτησιακή σχέση

panathas13 · #1

1) Έστω f:(0,+oo)->R με την ιδιότητα $\displaystyle{ f\left(x \right)-f\left(y \right)=f\left(\frac{x}{y} \right) }$ για κάθε x,y>0.
Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση τότε
i) Λύστε την εξίσωση $\displaystyle{ f\left(x^{2}+3 \right)+f\left(x \right)=f\left(x^{2} +1\right)+f\left(x+1 \right) }$
ii) Αν f(x)>0 για κάθε x>1 δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

2) f:R->R με f 1-1
Δείξτε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{ F\left(x \right)=f^{3}\left(x \right)+2f\left(x \right)-3 }$ είναι 1-1.

#2

1) Η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x)=0

είναι

(προκύπτει από τη δοθείσα θέτοντας y=1

).
Έπεται ότι η

είναι 1-1, αφού αν f(x)=f(y)

(

), τότε

, οπότε

, δηλ.

.

i) Η δοθείσα εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{f(\frac{x^2+3}{x^2+1})=f(\frac{x+1}{x})}$ ,

κι αφού η

είναι 1-1, παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{x^2+3}{x^2+1}=\frac{x+1}{x}}$

με μοναδική λύση x=1

.

ιι) Τετριμμένο.

2) Αν F(x)=F(y)

, τότε

$\left(f(x)-f(y)\right)\left(f(x)^2+f(x)f(y)+f(y)^2+2\right)$ =0,

οπότε

f(x)=f(y)

(αφού

για κάθε $a,b\in \mathbb{R}$ ).

Αλλά η

είναι 1-1, οπότε x=y

, κι άρα η

είναι 1-1.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Καλημέρα
Για το 2) μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση :Αν οι συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ είναι "1 - 1", να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση gof είναι "1-1"
μετά το 2 είναι απλή εφαρμογή.

Συναρτησιακή σχέση

Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση