Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή σχέση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 29, 2010 2:59 am
από panathas13
1) Έστω f:(0,+oo)->R με την ιδιότητα \displaystyle{ f\left(x \right)-f\left(y \right)=f\left(\frac{x}{y} \right) } για κάθε x,y>0.
Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση τότε
i) Λύστε την εξίσωση \displaystyle{ f\left(x^{2}+3 \right)+f\left(x \right)=f\left(x^{2} +1\right)+f\left(x+1 \right) }
ii) Αν f(x)>0 για κάθε x>1 δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

2) f:R->R με f 1-1
Δείξτε ότι η συνάρτηση \displaystyle{ F\left(x \right)=f^{3}\left(x \right)+2f\left(x \right)-3 } είναι 1-1.

Re: Συναρτησιακή σχέση

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μαρ 29, 2010 10:10 pm
από achilleas
1) Η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x)=0 είναι x=1 (προκύπτει από τη δοθείσα θέτοντας y=1).
Έπεται ότι η f είναι 1-1, αφού αν f(x)=f(y) (x,y>0), τότε f(x/y)=0, οπότε x/y=1, δηλ. x=y.

i) Η δοθείσα εξίσωση γράφεται

\displaystyle{f(\frac{x^2+3}{x^2+1})=f(\frac{x+1}{x})},

κι αφού η f είναι 1-1, παίρνουμε

\displaystyle{\frac{x^2+3}{x^2+1}=\frac{x+1}{x}}

με μοναδική λύση x=1.

ιι) Τετριμμένο.

2) Αν F(x)=F(y), τότε

\left(f(x)-f(y)\right)\left(f(x)^2+f(x)f(y)+f(y)^2+2\right)=0,

οπότε

f(x)=f(y)

(αφού a^2+ab+b^2+2>0 για κάθε a,b\in \mathbb{R}).

Αλλά η f είναι 1-1, οπότε x=y, κι άρα η F είναι 1-1.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: Συναρτησιακή σχέση

Δημοσιεύτηκε: Τρί Μαρ 30, 2010 8:59 am
από xr.tsif
Καλημέρα
Για το 2) μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση :Αν οι συναρτήσεις f,g:R\rightarrow R είναι "1 - 1", να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση gof είναι "1-1"
μετά το 2 είναι απλή εφαρμογή.