Ισοδύναμα ?

Nikos002 · #1

Είναι ισοδύναμη αυτή η πρόταση.
$f(x)\leq g(x)\Rightarrow limf(x)\leq limg(x)$
Αν ναι δεν βγάζει νόημα για κάποιες άλλες προτάσεις όπως. : $f(x)\geq 0 \Rightarrow limf(x)\geq 0$

Tolaso J Kos · #2

Όχι , δεν ειναι ισοδύναμη ! Μπορείς να δώσεις παράδειγμα ;

#3

Nikos002 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 15, 2018 12:41 am
Είναι ισοδύναμη αυτή η πρόταση.
$f(x)\leq g(x)\Rightarrow limf(x)\leq limg(x)$

Η έκφραση δεν είναι σωστή.
Μια πρόταση μπορεί να είναι ισοδύναμη με μιαν άλλη πρόταση...
στην συγκεκριμένη περίπτωση: αν η πρόταση $f(x)\leq g(x)$ είναι ισοδύναμη με την πρόταση $\lim_{x\to x_0} f(x)\leq \lim_{x\to x_0} g(x)$ ,
δηλαδή αν
$f(x)\leq g(x)\; \Leftrightarrow \; \lim_{x\to x_0} f(x)\leq \lim_{x\to x_0} g(x)$ (*)

ή κάπως διαφορετικά,

αν ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή στην πρόταση
$f(x)\leq g(x)\; \Rightarrow \; \lim_{x\to x_0} f(x)\leq \lim_{x\to x_0} g(x)$
δηλαδή αν
$f(x)\leq g(x)\; \Leftarrow \; \lim_{x\to x_0} f(x)\leq \lim_{x\to x_0} g(x)$ (*)

(*) και στις δυο περιπτώσεις το σύνολο τιμών του

σε σχέση με και το οριακό σημείο x_0

είναι σημαντική. π.χ. για κάθε

σε μια οσοδήποτε μικρή περιοχή του οριακού σημείου x_0

; ή για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ; ή...

Μετά τις παραπάνω παρατηρήσεις, μπορείς να εκφράσεις ακριβέστερα την ερώτησή σου;

Nikos002 · #4

Στο σχολικό βιβλίο υπάρχει η πρόταση που έγραψα πρώτη και ρωτάω αν ισχύει το αντίστροφο σε αυτην δηλαδή.
$limf(x) \leq limg(x) \Rightarrow f(x) \leq g(x)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Nikos002 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 15, 2018 3:42 pm
Στο σχολικό βιβλίο υπάρχει η πρόταση που έγραψα πρώτη και ρωτάω αν ισχύει το αντίστροφο σε αυτην δηλαδή.
$limf(x) \leq limg(x) \Rightarrow f(x) \leq g(x)$

Όχι δεν ισχύει. Αφήνω να βρεις αντιπαράδειγμα.

Ισχύει όμως το εξής:

Αν
$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)< \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$

τότε
f(x)<g(x)

κοντά στο

$x_{0}$

Το παραπάνω είναι εύκολο να το αποδείξεις με βάση ένα θεώρημα του σχολικού.

Nikos002 · #6

Ναι αυτό είχα στο μυαλό μου απλός σε ένα βοηθητικό έλεγε ότι ισχύει και το αντίστροφο και μπερδεύτηκα τελείως σκεφτόμενος αυτήν την ιδιότητα του σχολικού
limf(x)>0 ==> f(x)>0
Ωστόσο αν $f(x) >0 \Rightarrow limf(x)\geq 0 0$

Ισοδύναμα ?

Ισοδύναμα ?

Re: Ισοδύναμα ?

Re: Ισοδύναμα ?

Re: Ισοδύναμα ?

Re: Ισοδύναμα ?

Re: Ισοδύναμα ?

Μέλη σε σύνδεση