Όρια

panathas13 · #1

Πασχαλινές απορίες !

1) Έστω f:R->R με τυπο $\displaystyle{ f\left(x \right)=\alpha x+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|-\sqrt{\alpha x^{2}+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|x+\gamma } }$ όπου α,γεR* και $-1\neq{z}\neq0$ .
Αν $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left(x \right)=1 }$ τοτε:
α) Να δείξετε ότι α>0
β) Να δείξτε ότι α=1 και $\displaystyle{ \left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|=2 }$
γ) Να δείξτε ότι $\displaystyle{ \frac{1+z^{\nu }}{1+\bar{z}^{\nu }}=\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}} \right)^{\nu } }$

2) f:R->R τετοια ώστε $\displaystyle { \lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{2}\cdot f\left(x \right) \right]=1 }$
Ζητάει τo $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[\frac{1}{x^{2}}\cdot f\left(\frac{2}{x} \right) \right] }$ και βγάζω οτι δεν υπάρχει. Δεν ξέρω αν είμαι σωστός αλλά θα ήθελα να δω πως πρέπει να γραφεί μια πλήρης απάντηση.

Καλή Ανάσταση !

edit:[4/2/10, 12:22] προστέθηκε ${\color{brown}x}$ πού έλειπε στήν υπόριζη παράσταση ορισμού τής ${\color{brown}f}$ .
grigkost
edit [6/4/10,18:00]: διορθώνω και το όριο στη 2η ασκηση το οποίο είναι $\displaystyle{ x^{2} }$ και οχι x, και ζητώ συγγνώμη για το λάθος

mathxl · #2

Γιατί δεν γράφεις την δική σου απάντηση, για να δούμε, αν κάπου δεν έχεις καλή διατύπωση΄; Όλο και κάποιος συνάδελφος θα σου απαντήσει

#3

ΑΣΚΗΣΗ 2

Θέτουμε στο ζητούμενο όριο $\displaystyle{u=\frac{2}{x}}$ ,

οπότε έχουμε ότι:

$\displaystyle{lim_{x\rightarrow +\infty }\left[\frac{1}{x^{2}}\cdot f\left(\frac{2}{x} \right) \right]=lim_{u\rightarrow 0^+ }\left[\frac{u^2}{4}\cdot f(u) \right]=lim_{u\rightarrow 0^+ }\left[u\cdot f(u)\cdot\frac{u}{4}\right]=1\cdot\frac{0}{4}=0}$

panathas13 · #4

To λάθος μου ήταν ότι έσπασα πρώτα τα όρια και μετά έκανα την αλλαγή μεταβλητής γι'αυτό δεν έβγαινε.

#5

Φίλε panathas13 στην εκφώνηση της 1ης κάτι δεν πάει καλά. Υποπτεύομαι ότι λείπει ένα x στο υπόριζο.

Όπως και να' χει, πες μας τι ακριβώς ψάχνεις και που "κολλάς", γιατί είναι παραμετρικό όριο με αρκετή δουλειά.

panathas13 · #6

Κύριε Λευτέρη έχετε δίκιο ,ξέχασα ένα x
$\displaystyle{ f\left(x \right)=\alpha x+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|-\sqrt{\alpha x^{2}+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|x+\gamma } }$
Το όριο μου φαίνεται βουνό

Θέλει συζηγή ή να βγάλω το x^2 κοινό παράγοντα στο υπόρριζο?

#7

Καταρχήν πρέπει να βρεις το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να δεις πότε ορίζεται το όριο. Ίσως αυτό βγάζει απευθείας το α ερώτημα, Είναι αρκετά συνηθισμένο.

Για να βγάλεις κοινό παράγοντα στο υπόριζο πρέπει να έχεις α διαφορετικό του μηδενός.

Οι περιπτώσεις εξαρτόνται από το Π.Ο.

Τώρα δεν προλαβαίνω να ποστάρω λύση, αν δεν βρεθεί κάποιος άλλος συνάδελφος, αύριο μεταξύ κατσικιού και κοκορετσίου θα βάλω λύση.

Καλή ανάσταση.

sorfan · #8

Στην 1η άσκηση για το πρώτο ερώτημα: Αν α<=0 εύκολα προκύπτει ότι το όριο είναι -άπειρο. Επομένως, αναγκαία είναι α>0. Μετά πάρε όριο στο αχ-ρίζα (άφησε το μέτρο εκτός) και θα βρείς α=0 ή α=1, οπότε δεκτή η α=1.Τα υπόλοιπα αργότερα γιατί περιμένουν τα καρβουνα.

Αποσύρω τα παραπάνω γιατί δεν έλαβα υπόψη μου ότι το τριώνυμο είναι κάτω από ρίζα

#9

Για ευκολία στις πράξεις και στο γράψιμο θέτω $\displaystyle{b=\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|}$ .

a)Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Πρέπει: $\displaystyle{ax^2+bx+\gamma \geq 0 (I)}$ ,
που έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta =b^2-4a\gamma}$ .

*Αν $\Delta < 0$ , για να ισχύει η (Ι) πρέπει α > 0.
*Αν $\Delta = 0$ , για να ισχύει η (Ι) πρέπει α > 0.
*Αν $\Delta > 0$ θεωρώ x_1,x_2

τις ρίζες με x_1<x_2

και διακρίνω τις περιπτώσεις:
- Αν α < 0 η (Ι) ισχύει όταν $x \in [x_1,x_2]$ οπότε δεν ορίζεται το όριο στο άπειρο, περίπτωση που απορρίπτεται.
- Αν α > 0 η (Ι) ισχύει όταν $x \in (-\infty,x_1] \cup [x_2, +\infty)$ , περίπτωση που δεκτή.

Επομένως για να ορίζεται το όριο και να ορίζεται η συνάρτηση απαιτείται α > 0.

b) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
* Αν $\displaystyle{ a-\sqrt{a} > 0 \Leftrightarrow a > \sqrt{a} \Leftrightarrow a^2 > a \Leftrightarrow a>1}$ , τότε
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(a+\frac{b}{x}-\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}} \right) \right]=+\infty}$ , απορρίπτεται.

* Αν $\displaystyle{ a-\sqrt{a} < 0 \Leftrightarrow 0 < a <1}$ , τότε
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(a+\frac{b}{x}-\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}} \right) \right]=-\infty}$ , απορρίπτεται.

* Αν $\displaystyle{ a-\sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 1}$ , τότε
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x+b-\sqrt{x^2+bx+\gamma} \right)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x+b)^2-(x^2+bx+\gamma)}{x+b+\sqrt{x^2+bx+\gamma}}= }$
$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2+2bx+b^2-x^2-bx-\gamma}{x+b+\sqrt{x^2+bx+\gamma}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{bx+b^2-\gamma}{x+b+\sqrt{x^2+bx+\gamma}}(II) }$

- Αν b= 0

, τότε το όριο της f(x) στο + άπειρο είναι:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\gamma}{x\left(1+\frac{b}{x}+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}}\right)}=0}$ , απορρίπτεται.

- Αν $b \neq 0$ , τότε το όριο της f(x) στο + άπειρο είναι:
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\left( b+\frac{b^2-\gamma}{x}\right)}{x\left(1+\frac{b}{x}+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}}\right)}=\frac{b}{2}}$ ,
το οποίο πρέπει να είναι ίσο με 1, οπότε: $\displaystyle{\frac{b}{2}=1\Leftrightarrow b=2\Leftrightarrow \left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|=2}$

c) $\displaystyle{\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|=2\Leftrightarrow \left|\frac{z\bar{z}+1}{\bar{z}} \right|=2\Leftrightarrow\left| z\bar{z}+1\right|=2\left|\bar{z} \right|\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left| z\bar{z}+1\right|^2=4\left|\bar{z} \right|^2\Leftrightarrow (z\bar{z})^2+2z\bar{z}+1=4|z|^2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(|z|^2)^2+2|z|^2+1-4|z|^2 =0 \Leftrightarrow (|z|^2)^2-2|z|^2+1=0 \Leftrightarrow (|z|^2 - 1)^2=0 \Leftrightarrow |z|^2=1\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}}$ .

Τότε:
$\displaystyle{\frac{1+z^v}{1+\bar{z}^v}=\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}} \right)^v \Leftrightarrow \frac{1+z^v}{1+\left(\frac{1}{z}\right)^v}=\left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} \right)^v \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1+z^v}{\frac{z^v+1}{z^v}}=\left(\frac{1+z}{\frac{z+1}{z}} \right)^v \Leftrightarrow \frac{z^v(1+z^v)}{z^v+1}=\left(\frac{z(1+z)}{z+1} \right)^v \Leftrightarrow z^v=z^v}$ , η οποία ισχύει άρα και η αρχική.

panathas13 · #10

Ευχαριστώ πολύ

panathas13 · #11

Eγινε διορθωση στη 2η άσκηση.

Όρια

Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Re: Όρια

Μέλη σε σύνδεση