Όρια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

panathas13
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 21, 2010 9:41 pm

Όρια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panathas13 » Σάβ Απρ 03, 2010 10:38 pm

Πασχαλινές απορίες ! :-D

1) Έστω f:R->R με τυπο \displaystyle{ f\left(x \right)=\alpha x+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|-\sqrt{\alpha x^{2}+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|x+\gamma } } όπου α,γεR* και -1\neq{z}\neq0.
Αν \displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left(x \right)=1 } τοτε:
α) Να δείξετε ότι α>0
β) Να δείξτε ότι α=1 και \displaystyle{ \left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|=2 }
γ) Να δείξτε ότι \displaystyle{ \frac{1+z^{\nu }}{1+\bar{z}^{\nu }}=\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}} \right)^{\nu } }


2) f:R->R τετοια ώστε \displaystyle { \lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{2}\cdot f\left(x \right) \right]=1 }
Ζητάει τo \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[\frac{1}{x^{2}}\cdot f\left(\frac{2}{x} \right) \right] } και βγάζω οτι δεν υπάρχει. Δεν ξέρω αν είμαι σωστός αλλά θα ήθελα να δω πως πρέπει να γραφεί μια πλήρης απάντηση.

Καλή Ανάσταση !

edit:[4/2/10, 12:22] προστέθηκε {\color{brown}x} πού έλειπε στήν υπόριζη παράσταση ορισμού τής {\color{brown}f}.
grigkost

edit [6/4/10,18:00]: διορθώνω και το όριο στη 2η ασκηση το οποίο είναι \displaystyle{ x^{2} } και οχι x, και ζητώ συγγνώμη για το λάθος
τελευταία επεξεργασία από panathas13 σε Τρί Απρ 06, 2010 6:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Όρια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Απρ 03, 2010 10:41 pm

Γιατί δεν γράφεις την δική σου απάντηση, για να δούμε, αν κάπου δεν έχεις καλή διατύπωση΄; Όλο και κάποιος συνάδελφος θα σου απαντήσει :)


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Απρ 03, 2010 10:47 pm

ΑΣΚΗΣΗ 2

Θέτουμε στο ζητούμενο όριο \displaystyle{u=\frac{2}{x}},

οπότε έχουμε ότι:

\displaystyle{lim_{x\rightarrow +\infty }\left[\frac{1}{x^{2}}\cdot f\left(\frac{2}{x} \right) \right]=lim_{u\rightarrow 0^+ }\left[\frac{u^2}{4}\cdot f(u) \right]=lim_{u\rightarrow 0^+ }\left[u\cdot f(u)\cdot\frac{u}{4}\right]=1\cdot\frac{0}{4}=0}


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
panathas13
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 21, 2010 9:41 pm

Re: Όρια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panathas13 » Σάβ Απρ 03, 2010 10:51 pm

To λάθος μου ήταν ότι έσπασα πρώτα τα όρια και μετά έκανα την αλλαγή μεταβλητής γι'αυτό δεν έβγαινε.


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Απρ 03, 2010 11:10 pm

Φίλε panathas13 στην εκφώνηση της 1ης κάτι δεν πάει καλά. Υποπτεύομαι ότι λείπει ένα x στο υπόριζο.

Όπως και να' χει, πες μας τι ακριβώς ψάχνεις και που "κολλάς", γιατί είναι παραμετρικό όριο με αρκετή δουλειά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
panathas13
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 21, 2010 9:41 pm

Re: Όρια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panathas13 » Σάβ Απρ 03, 2010 11:20 pm

Κύριε Λευτέρη έχετε δίκιο ,ξέχασα ένα x
\displaystyle{ f\left(x \right)=\alpha x+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|-\sqrt{\alpha x^{2}+\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|x+\gamma } }
Το όριο μου φαίνεται βουνό :shock:
Θέλει συζηγή ή να βγάλω το x^2 κοινό παράγοντα στο υπόρριζο?


Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Απρ 03, 2010 11:25 pm

Καταρχήν πρέπει να βρεις το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να δεις πότε ορίζεται το όριο. Ίσως αυτό βγάζει απευθείας το α ερώτημα, Είναι αρκετά συνηθισμένο.

Για να βγάλεις κοινό παράγοντα στο υπόριζο πρέπει να έχεις α διαφορετικό του μηδενός.

Οι περιπτώσεις εξαρτόνται από το Π.Ο.

Τώρα δεν προλαβαίνω να ποστάρω λύση, αν δεν βρεθεί κάποιος άλλος συνάδελφος, αύριο μεταξύ κατσικιού και κοκορετσίου θα βάλω λύση.

Καλή ανάσταση.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
sorfan
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 8:47 pm

Re: Όρια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sorfan » Κυρ Απρ 04, 2010 11:56 am

Στην 1η άσκηση για το πρώτο ερώτημα: Αν α<=0 εύκολα προκύπτει ότι το όριο είναι -άπειρο. Επομένως, αναγκαία είναι α>0. Μετά πάρε όριο στο αχ-ρίζα (άφησε το μέτρο εκτός) και θα βρείς α=0 ή α=1, οπότε δεκτή η α=1.Τα υπόλοιπα αργότερα γιατί περιμένουν τα καρβουνα.

Αποσύρω τα παραπάνω γιατί δεν έλαβα υπόψη μου ότι το τριώνυμο είναι κάτω από ρίζα
τελευταία επεξεργασία από sorfan σε Κυρ Απρ 04, 2010 8:07 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2812
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όρια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Απρ 04, 2010 1:10 pm

Για ευκολία στις πράξεις και στο γράψιμο θέτω \displaystyle{b=\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|}.

a)Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Πρέπει: \displaystyle{ax^2+bx+\gamma \geq 0 (I)},
που έχει διακρίνουσα \displaystyle{\Delta =b^2-4a\gamma}.

*Αν \Delta < 0, για να ισχύει η (Ι) πρέπει α > 0.
*Αν \Delta = 0, για να ισχύει η (Ι) πρέπει α > 0.
*Αν \Delta > 0 θεωρώ x_1,x_2 τις ρίζες με x_1<x_2 και διακρίνω τις περιπτώσεις:
- Αν α < 0 η (Ι) ισχύει όταν x \in [x_1,x_2] οπότε δεν ορίζεται το όριο στο άπειρο, περίπτωση που απορρίπτεται.
- Αν α > 0 η (Ι) ισχύει όταν x \in (-\infty,x_1] \cup [x_2, +\infty), περίπτωση που δεκτή.

Επομένως για να ορίζεται το όριο και να ορίζεται η συνάρτηση απαιτείται α > 0.

b) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
* Αν \displaystyle{ a-\sqrt{a} > 0 \Leftrightarrow a > \sqrt{a} \Leftrightarrow a^2 > a \Leftrightarrow a>1}, τότε
\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(a+\frac{b}{x}-\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}} \right) \right]=+\infty}, απορρίπτεται.

* Αν \displaystyle{ a-\sqrt{a} < 0 \Leftrightarrow 0 < a <1}, τότε
\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left[x\left(a+\frac{b}{x}-\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}} \right) \right]=-\infty}, απορρίπτεται.

* Αν \displaystyle{ a-\sqrt{a} = 0 \Leftrightarrow a = 1}, τότε
\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x+b-\sqrt{x^2+bx+\gamma} \right)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x+b)^2-(x^2+bx+\gamma)}{x+b+\sqrt{x^2+bx+\gamma}}= }
\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2+2bx+b^2-x^2-bx-\gamma}{x+b+\sqrt{x^2+bx+\gamma}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{bx+b^2-\gamma}{x+b+\sqrt{x^2+bx+\gamma}}(II) }

- Αν b= 0, τότε το όριο της f(x) στο + άπειρο είναι:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\gamma}{x\left(1+\frac{b}{x}+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}}\right)}=0}, απορρίπτεται.

- Αν b \neq 0, τότε το όριο της f(x) στο + άπειρο είναι:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\left( b+\frac{b^2-\gamma}{x}\right)}{x\left(1+\frac{b}{x}+\sqrt{1+\frac{b}{x}+\frac{\gamma}{x^2}}\right)}=\frac{b}{2}},
το οποίο πρέπει να είναι ίσο με 1, οπότε: \displaystyle{\frac{b}{2}=1\Leftrightarrow b=2\Leftrightarrow \left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|=2}

c) \displaystyle{\left|z+\frac{1}{\bar{z}} \right|=2\Leftrightarrow \left|\frac{z\bar{z}+1}{\bar{z}} \right|=2\Leftrightarrow\left|  z\bar{z}+1\right|=2\left|\bar{z} \right|\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow \left|  z\bar{z}+1\right|^2=4\left|\bar{z} \right|^2\Leftrightarrow (z\bar{z})^2+2z\bar{z}+1=4|z|^2 \Leftrightarrow }

\displaystyle{(|z|^2)^2+2|z|^2+1-4|z|^2 =0 \Leftrightarrow (|z|^2)^2-2|z|^2+1=0 \Leftrightarrow (|z|^2 - 1)^2=0 \Leftrightarrow |z|^2=1\Leftrightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}}.

Τότε:
\displaystyle{\frac{1+z^v}{1+\bar{z}^v}=\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}} \right)^v \Leftrightarrow \frac{1+z^v}{1+\left(\frac{1}{z}\right)^v}=\left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} \right)^v \Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{1+z^v}{\frac{z^v+1}{z^v}}=\left(\frac{1+z}{\frac{z+1}{z}} \right)^v \Leftrightarrow \frac{z^v(1+z^v)}{z^v+1}=\left(\frac{z(1+z)}{z+1} \right)^v \Leftrightarrow z^v=z^v}, η οποία ισχύει άρα και η αρχική.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
panathas13
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 21, 2010 9:41 pm

Re: Όρια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panathas13 » Κυρ Απρ 04, 2010 7:44 pm

Ευχαριστώ πολύ :clap2:


panathas13
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 21, 2010 9:41 pm

Re: Όρια

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panathas13 » Τρί Απρ 06, 2010 6:01 pm

Eγινε διορθωση στη 2η άσκηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης