Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Ένα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.
Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ώστε
Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ώστε
Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Όταν βλέπω ανάρτηση του Θάνου λέω κάτι καλό ψήνεται! Για πάμε να δούμε. Ξεκινάω με το πρώτο ερώτημα.
(α) Για στη δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:
Θα αποδείξουμε ότι και άρα το είναι ρίζα της . Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με , και . Επειδή:
Έχουμε ότι και επομένως η είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, για κάθε και για κάθε . Επομένως, η είναι αύξουσα στο και φθίνουσα στο άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο και άρα .
Επομένως, η είναι γνησίως αύξουσα και άρα . Τελικά, .
Τώρα, έστω ότι η έχει και δεύτερη ρίζα διαφορετική από την μηδενική. Τότε, για στην συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:
Όμως, από την γνωστή ανισότητα του σχολικού βιβλίου για κάθε ισχύει:
Διακρίνοντας περιπτώσεις έχουμε ότι για κάθε ισχύει με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν . Επομένως, . Το οποίο είναι φυσικά άτοπο.
Τελικά, η μόνη ρίζα της είναι το μηδέν.
Η συνέχεια μετά το φαγητό.
Και αφού φάγαμε και κάτι πάμε για το δεύτερο ερώτημα.
(β) Θέτουμε στην συναρτησιακή όπου το και έχουμε:
σχέση
Προσθέτοντας την δοθείσα συναρτησιακή με την σχέση έχουμε ότι για κάθε :
Όμως, η συνάρτηση είναι από το προηγούμενο ερώτημα, άρα , για κάθε . Επομένως, η είναι περιττή.
(α) Για στη δοθείσα συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:
Θα αποδείξουμε ότι και άρα το είναι ρίζα της . Θεωρούμε τη συνάρτηση:
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη τρεις φορές με , και . Επειδή:
Έχουμε ότι και επομένως η είναι γνησίως αύξουσα. Άρα, για κάθε και για κάθε . Επομένως, η είναι αύξουσα στο και φθίνουσα στο άρα παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο και άρα .
Επομένως, η είναι γνησίως αύξουσα και άρα . Τελικά, .
Τώρα, έστω ότι η έχει και δεύτερη ρίζα διαφορετική από την μηδενική. Τότε, για στην συναρτησιακή εξίσωση έχουμε:
Όμως, από την γνωστή ανισότητα του σχολικού βιβλίου για κάθε ισχύει:
Διακρίνοντας περιπτώσεις έχουμε ότι για κάθε ισχύει με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν . Επομένως, . Το οποίο είναι φυσικά άτοπο.
Τελικά, η μόνη ρίζα της είναι το μηδέν.
Η συνέχεια μετά το φαγητό.
Και αφού φάγαμε και κάτι πάμε για το δεύτερο ερώτημα.
(β) Θέτουμε στην συναρτησιακή όπου το και έχουμε:
σχέση
Προσθέτοντας την δοθείσα συναρτησιακή με την σχέση έχουμε ότι για κάθε :
Όμως, η συνάρτηση είναι από το προηγούμενο ερώτημα, άρα , για κάθε . Επομένως, η είναι περιττή.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
μια άλλη λύση
2.
Έχει αποδειχθεί ότι η είναι γν αύξουσα άρα 1-1
έστω τότε άρα δηλαδή οπότε περιττή
sinx
3.και 4.
Συνολο τιμων της το R συνολο τμων της g το R kαι το g(R)=R
Αν που όπως είναι γνωστό ισχύει μόνον όταν άρα 1-1 συνεπώς γν μονότονη
P
ακόμη όταν είναι αρα δηλαδή και λόγω συμμετρίας οταν συμπεραίνουμε ότι η είναι αύξουσα με σύνολο τιμών το
1.
Από το προηγούμενα όρια υπάρχουν και αφού συνεχής έχει ρίζα που είναι γνωστό ότι ισχύει μόνον για
2.
Έχει αποδειχθεί ότι η είναι γν αύξουσα άρα 1-1
έστω τότε άρα δηλαδή οπότε περιττή
sinx
3.και 4.
Συνολο τιμων της το R συνολο τμων της g το R kαι το g(R)=R
Αν που όπως είναι γνωστό ισχύει μόνον όταν άρα 1-1 συνεπώς γν μονότονη
P
ακόμη όταν είναι αρα δηλαδή και λόγω συμμετρίας οταν συμπεραίνουμε ότι η είναι αύξουσα με σύνολο τιμών το
1.
Από το προηγούμενα όρια υπάρχουν και αφού συνεχής έχει ρίζα που είναι γνωστό ότι ισχύει μόνον για
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Σάβ Απρ 13, 2019 8:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
1. Έστω μια λύση. Τότε .matha έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pmΈνα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.
Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ώστε
Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Αντίστροφα, για , από τη δοσμένη έχουμε
αφού, όπως απέδειξε ο Μάριος παραπάνω, η είναι γν.αύξουσα με μοναδική ρίζα την
2 και 3 Για έχουμε ότι και οι δύο είναι γν.αύξουσες και περιττές.
Επομένως η είναι αντιστρέψιμη και από τη δοσμένη
Επειδή η είναι περιττή θα είναι και η αντίστροφή της περιττή.
Επειδή οι και είναι περιττές η σύνθεσή τους θα είναι περιττή.
Το σύνολο τιμών της γν.αύξουσας είναι διάστημα αφού συνεχής. Άρα το πεδίο ορισμού της
είναι διάστημα και από γνωστή πρόταση γν.αύξουσα.
**Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης το θέλουμε διάστημα για να λειτουργήσει ο σχολικός ορισμός της μονοτονίας.**
Επίσης, η είναι γν.αύξουσα.
Άρα και η σύνθεσή τους θα είναι γν.αύξουσα.
4. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ώστε για κάθε .
Τότε για κάθε ισχύει άτοπο αφού
Άρα
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Ίσως έχει ενδιαφέρον το ερώτημα:matha έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pmΈνα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.
Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ώστε
Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς που ικανοποιεί την σχέση της εκφώνησης.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πεπλεγμένη συνάρτηση!
Νομίζω ότι είναι στάνταρ οι τρόποι αντιμετώπισης για την ύπαρξη τηςnsmavrogiannis έγραψε: ↑Δευ Απρ 01, 2019 10:48 pmΊσως έχει ενδιαφέρον το ερώτημα:matha έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 31, 2019 1:27 pmΈνα θέμα που ετοίμασα στις αρχικές έννοιες.
Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ώστε
Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης.
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση ορισμένη στους πραγματικούς που ικανοποιεί την σχέση της εκφώνησης.
Η σχέση γράφεται .
Θέτουμε
1 τρόπος.
Αρκεί να δείξουμε ότι για
η εξίσωση εχει ακριβώς μια λύση.
Δηλαδή η εχει ακριβώς μια λύση.
Προκύπτει εύκολα κάνοντας την μελέτη της .
2 τρόπος
Αφού κάνουμε την μελέτη της δείχνουμε ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες