Περιττή συναρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Nikos127
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τετ Αύγ 07, 2019 1:40 pm

Περιττή συναρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos127 » Τρί Σεπ 03, 2019 5:35 pm

Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για την οποία ισχύει: e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x να δειχθεί ότι η f είναι περιττή



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Περιττή συναρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Σεπ 03, 2019 8:16 pm

Nikos127 έγραψε:
Τρί Σεπ 03, 2019 5:35 pm
Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για την οποία ισχύει: e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x να δειχθεί ότι η f είναι περιττή

e^{f(x)} - e^{-f(x)} =2x \Leftrightarrow  \big( e^{f(x)}-x \big)^2 =x^2+1 και θέτοντας όπου x το-x έχουμε ( e^{f(-x)} +x)^2=x^2+1

Άρα ( e^{f(-x)} +x)^2= (e^{f(x)}-x)^2 \Leftrightarrow  (e^{f(-x)}  + e^{f(x)})( e^{f(-x)}-e^{f(x)}+2x)=0 απ όπου  e^{f(-x)}-e^{f(x)}=-2x

Προσθέτοντας με την αρχική παίρνουμε e^{f(-x)}=e^{-f(x)} \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περιττή συναρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 03, 2019 8:30 pm

Όπως ο Μιχάλης

e^{f(x)} - e^{-f(x)} =2x \Leftrightarrow  \big( e^{f(x)}-x \big)^2 =x^2+1

από την τελευταία

e^{f(x)}-x =\pm \sqrt{x^2+1}\Rightarrow e^{f(x)}=x \pm \sqrt{x^2+1}

Επειδή
e^{f(x)}>0 είναι e^{f(x)}=x + \sqrt{x^2+1}

οπότε
f(x)=\ln (x + \sqrt{x^2+1})

και εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι περιττή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περιττή συναρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 03, 2019 9:02 pm

Nikos127 έγραψε:
Τρί Σεπ 03, 2019 5:35 pm
Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για την οποία ισχύει: e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x να δειχθεί ότι η f είναι περιττή
Αλλιώς:

e^{f(-x)} - e^{-f(-x)} = 2(-x) = - e^{f(x)} + e^{-f(x)} . Αλλά η συνάρτηση e^x-e^{-x} είναι 1-1 ως γνήσια αύξουσα (έχει παράγωγο e^x+e^{-x}>0). Άρα f(-x)=-f(x), όπως θέλαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης