Περιττή συναρτηση

Nikos127 · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: $e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x$ να δειχθεί ότι η f είναι περιττή

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 03, 2019 5:35 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: $e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x$ να δειχθεί ότι η f είναι περιττή

$e^{f(x)} - e^{-f(x)} =2x \Leftrightarrow \big( e^{f(x)}-x \big)^2 =x^2+1$ και θέτοντας όπου

το

έχουμε $( e^{f(-x)} +x)^2=x^2+1$

Άρα $( e^{f(-x)} +x)^2= (e^{f(x)}-x)^2 \Leftrightarrow (e^{f(-x)} + e^{f(x)})( e^{f(-x)}-e^{f(x)}+2x)=0$ απ όπου $e^{f(-x)}-e^{f(x)}=-2x$

Προσθέτοντας με την αρχική παίρνουμε $e^{f(-x)}=e^{-f(x)} \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Όπως ο Μιχάλης

$e^{f(x)} - e^{-f(x)} =2x \Leftrightarrow \big( e^{f(x)}-x \big)^2 =x^2+1$

από την τελευταία

$e^{f(x)}-x =\pm \sqrt{x^2+1}\Rightarrow e^{f(x)}=x \pm \sqrt{x^2+1}$

Επειδή
$e^{f(x)}>0$ είναι $e^{f(x)}=x + \sqrt{x^2+1}$

οπότε
$f(x)=\ln (x + \sqrt{x^2+1})$

και εύκολα διαπιστώνουμε ότι είναι περιττή.

#4

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 03, 2019 5:35 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: $e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x$ να δειχθεί ότι η f είναι περιττή

Αλλιώς:

$e^{f(-x)} - e^{-f(-x)} = 2(-x) = - e^{f(x)} + e^{-f(x)}$ . Αλλά η συνάρτηση $e^x-e^{-x}$ είναι 1-1

ως γνήσια αύξουσα (έχει παράγωγο $e^x+e^{-x}>0$ ). Άρα f(-x)=-f(x)

, όπως θέλαμε.

Περιττή συναρτηση

Περιττή συναρτηση

Re: Περιττή συναρτηση

Re: Περιττή συναρτηση

Re: Περιττή συναρτηση

Μέλη σε σύνδεση