Απλές Ασκήσεις

chris · #1

1)Αν $f(f(x))=x^{2}-(2a-1)x+a^{2},x\epsilon R$ και f(k)=k

τότε να δείξετε οτι k=a

2)Έστω

με $g(x)=x^{2}+ax+b$ και $fog=gof,x\epsilon R$ .Αν υπαρχει μοναδικος

ώστε

να δείξετε οτι
$(a-1)^{2}=4b$

3)Αν $\left|xf(y)-yf(x) \right|\leq 2,x,y\epsilon R$ και f(1)=2

ν.δ.ο

και $f(x)=2x,x \in \mathbb{R}$ .

4)Να βρείτε το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }(\sqrt{7x^{4}+6x+5}-\sqrt{7x^{4}+3x+3})\cdot \sqrt{63x^{2}-5x+20}$

Ωmega Man · #2

Ξεκινώ με το πρώτο και έχω μια απορία για το δεύτερο.
1) Για $\displaystyle{\bf x=k}$ , $\displaystyle{\bf f(f(k))=f(k)=k^2-(2a-1)k+a^2=k\Rightarrow k^2-2ak+k+a^2=k\Rightarrow (k-a)^2=0\Rightarrow a=k}$ .
Στο 2ο το σύμβολο $\o$ τι σημαίνει; Απ´ότι ξέρω είναι το σύμβολο της διαμέτρου.

chris · #3

Απλά δεν έβρισκα το σύμβολο της σύνθεσης στο Latex.

Ωmega Man · #4

Βάλε ένα σκέτο o, δηλαδή $\displaystyle{fog=gof}$ . Στο $\displaystyle{ \bf\LaTeX }$ χρειάζεται απλότητα και φαντασία.

Math Rider · #5

Φίλε Chris, νομιζω ότι η (3) έχει προβλήμα: Για $\displaystyle{ x = 1 }$ και $\displaystyle{ y = 0 }$ παιρνουμε ότι $\displaystyle{ f(0) = 2 }$
Πολύ έξυπνη η 2)

chris · #6

Δεν νομίζω να υπάρχει πρόβλημα(όντως η 2 είναι όμορφη).

Math Rider · #7

Ναι, έχεις δικιο. Αυτά παθαινει όποιος βιάζεται!

Math Rider · #8

Δίνω την λύση της 4):
[Έχουμε απροσδιόριστη μορφή $\displaystyle{ 0 \cdot \left( { + \infty } \right) }$ ]

Για $\displaystyle{ x > 0 }$ έχουμε ότι:

$\displaystyle{ \left( {\sqrt {7x^4 + 6x + 5} - \sqrt {7x^4 + 3x + 3} } \right) \cdot \sqrt {63x^2 - 5x + 20} = }$

$\displaystyle{ \frac{{\left( {\sqrt {7x^4 + 6x + 5} } \right)^2 - \left( {\sqrt {7x^4 + 3x + 3} } \right)^2 \cdot \sqrt {63x^2 - 5x + 20} }}{{\sqrt {7x^4 + 6x + 5} + \sqrt {7x^4 + 3x + 3} }} = }$

$\displaystyle{ \frac{{\left( {3x + 2} \right) \cdot \sqrt {63x^2 - 5x + 20} }}{{\sqrt {7x^4 + 6x + 5} + \sqrt {7x^4 + 3x + 3} }} = }$

$\displaystyle{ \frac{{x\left( {3 + \frac{2}{x}} \right) \cdot x\sqrt {63 - \frac{5}{x} + \frac{{20}}{{x^2 }}} }}{{x^2 \left( {\sqrt {7 + \frac{6}{{x^3 }} + \frac{5}{{x^4 }}} + \sqrt {7 + \frac{3}{{x^3 }} + \frac{3}{{x^4 }}} } \right)}} = }$

$\displaystyle{ \frac{{\left( {3 + \frac{2}{x}} \right)\sqrt {63 - \frac{5}{x} + \frac{{20}}{{x^2 }}} }}{{\sqrt {7 + \frac{6}{{x^3 }} + \frac{5}{{x^4 }}} + \sqrt {7 + \frac{3}{{x^3 }} + \frac{3}{{x^4 }}} }} }$

Έτσι για $\displaystyle{ x \to + \infty }$ εύκολα βρίσκουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{ \frac{9}{2} }$ .

Ιστοσελίδα · #9

Η 2 έχει κάτι περισσότερο από το προφανές?

Αντικαθιστώ με κ στην ισότητα των συνθέσεων, από όπου λόγω μοναδικότητας του κ ως σταθερού σημείου της f καταλήγω σε ένα τριώνυμο που πρέπει να έχει διακρίνουσα Δ=0, απ'την οποία προκύπτει το ζητούμενο...

chris · #10

Όντως είναι προφανές αλλά αν αυτή έμπαινε στο σχολείο πιστεύετε οτι θα την έλυναν οι μαθητες?Αν ρωτάτε την γνώμη μου νομίζω όχι.

Φιλικά Χρήστος

Ιστοσελίδα · #11

chris έγραψε:Όντως είναι προφανές(''απλές ασκήσεις'') αλλά αν αυτή έμπαινε στο σχολείο πιστεύετε οτι θα την έλυναν οι μαθητες?Αν ρωτάτε την γνώμη μου νομίζω όχι.

Φιλικά Χρήστος

Α όχι απαραίτητα εννοείται, θέλουν και λίγο σκέψη!!!

Dimitris X · #12

Για να λυθεί η 2 χρειάζεται η συνθύκη με τις συνθέσεις???
Γιατί νομίζω πως όχι....

chris · #13

Αν έχεις κάτι να προτείνεις είμαι όλος αυτιά(μάλλον μάτια)

αλλά νομίζω οτι η συνθήκη είναι αναγκαία.

#14

Ωραίες ασκήσεις... Ειδικά η 3...

pastavr · #15

chris μπορείς να ποστάρεις τη λύση του 3 ;

parmenides51 · #16

chris έγραψε: 3)Αν $\left|xf(y)-yf(x) \right|\leq 2,x,y\in R$ και $\ f(1)=2$ ν.δ.ο $\ f(0)=0$ και πραγματικός.

επαναφορά

edit: Διόρθωση LaTeX

#17

Το σύμβολο της σύνθεσης είναι

Κώδικας: Επιλογή όλων

\circ

και δίνει $\circ$ .

#18

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=440327

Απλές Ασκήσεις

Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Re: Απλές Ασκήσεις

Μέλη σε σύνδεση