Αντίστροφη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Αντίστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm

Να βρεθεί η αντίστροφη της f(x)=\ln {{x}^{4}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 30, 2019 11:48 pm

orestisgotsis έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm
Να βρεθεί η αντίστροφη της f(x)=\ln {{x}^{4}}
Αποκλείεται η f να αντιστρέφεται , αφού για -1\neq 1 είναι f(-1)=f(1).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Αντίστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am

Αποσύρεται
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Παρ Νοέμ 01, 2019 9:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Αντίστροφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Οκτ 31, 2019 6:03 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:48 pm
orestisgotsis έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm
Να βρεθεί η αντίστροφη της f(x)=\ln {{x}^{4}}
Αποκλείεται η f να αντιστρέφεται , αφού για -1\neq 1 είναι f(-1)=f(1).
Συνημμένα
o7za.ggb
(6.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 41 φορές


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Οκτ 31, 2019 9:07 am

Δε καταλαβαίνω πραγματικά. Το πεδίο ορισμού της f είναι το \mathbb{R}^*. Σε αυτό η f δεν είναι 1-1 αφού για διαφορετικά x_1,x_2 είναι f(x_1)=f(x_2) πράγμα εντελώς λογικό αφού η f είναι άρτια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντίστροφη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 31, 2019 9:10 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:48 pm
orestisgotsis έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm
Να βρεθεί η αντίστροφη της f(x)=\ln {{x}^{4}}
Αποκλείεται η f να αντιστρέφεται , αφού για -1\neq 1 είναι f(-1)=f(1).
Έχει δίκιο να διαμαρτύρεται ο Τόλης. Η άσκηση είναι εσφαλμένη, και η λύση επίσης.

Η λύση του Ratio βασίζεται στην εσφαλμένη ιδέα ότι αν μία συνάρτηση ορίζεται σε μία ένωση A\cup B δύο ξένων συνόλων και αν είναι αντιστέψιμη σε καθένα από τα δύο σύνολα χωριστά, τότε είναι αντιστρέψιμη. Αυτό είναι ΛΑΘΟΣ. Ένα εύκολο παράδειγμα να δούμε γιατί είναι λάθος είναι η συνάρτηση f(x)=|x|. Όλοι συμφωνούμε ότι δεν είναι αντιστρέψιμη παρ' όλο που είναι αντιστρέψιμη σε καθένα από τα (-\infty, 0)\cup [0, \infty).

Μάλιστα αν ακολουθήσουμε την εσφαλμένη λογική της λύσης του Ratio τότε η αντίστροφη της f(x)=|x| θα βγει να είναι η f^{-1}(x)=|x| (ο εαυτός της δηλαδή) καθώς η αντίστροφη της -x στο (-\infty, 0) είναι η -x και της x στο [0, \infty) είναι η x.

Τα γράφω όλα αυτά επειδή μας διαβάζουν μαθητές και καλό είναι να μην δίνουμε εσφαλμένες εντυπώσεις.

Πάντως κρατώ το παράδειγμα για να το δίνω στους φοιτητές μου ως ερώτηση κρίσης "να βρούν που είναι το σφάλμα στον συλλογισμό". Τέτοια έχω μαζέψει κάμποσα, κάποια από τα οποία είχα καταγράψει σε βιβλίο μου προς μαθητές, στο κεφάλαιο "Ερωτήσεις κρίσης, κρυμμενα λάθη". Ακολουθώ σε αυτό το παράδειγμα ενός βιβλίου του Ευκλείδη, δυστυχώς χαμένο σήμερα αλλά η πληροφορία είναι στο Υπόμνημα του Πρόκλου, με τίτλο Ψευδάρια.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Αντίστροφη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am

Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο  R^{*}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντίστροφη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 31, 2019 11:29 am

Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am
Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο  R^{*}
Περίεργη η απάντησή σου. 'Οταν γράφεις
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am

f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, x>0 \end{matrix}\right.

τι ακριβώς εννοείς; Βλέπω ή δεν βλέπω f^{-1} στον ορισμό της εν λόγω συνάρτησης;


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 289
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Πέμ Οκτ 31, 2019 3:13 pm

Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am
Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο  R^{*}
Ούτε αυτό στέκει. H αντίστροφη της f(x)=4lnx,x>0 γιατί είναι η f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{4}} , x>0 ;


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Αντίστροφη

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 31, 2019 10:48 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 11:29 am
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am
Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο  R^{*}
Περίεργη η απάντησή σου. 'Οταν γράφεις
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am

f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, x>0 \end{matrix}\right.

τι ακριβώς εννοείς; Βλέπω ή δεν βλέπω f^{-1} στον ορισμό της εν λόγω συνάρτησης;
Συμπύκνωσα απλα το ποιές είναι οι αντίστροφες στα δυο διαστήματα. Ξέροντας ότι δεν υπάρχει αντίστροφη σε όλο το πεδίο ορισμού της  f "ανέβασα" και δύο διαφορετικά διαγράμματα . Τώρα αν αυτό μπορεί να εκληφθεί ώς ύπαρξη αντίστροφης να το αποσύρω να τελειώνουμε


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11537
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντίστροφη

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 01, 2019 8:32 am

Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am
f(x)=4ln\left | x \right | =\left\{\begin{matrix} 4ln(-x) , x<0 \\ \\ \\ \\ 4ln(x), x>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.



f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, x>0 \end{matrix}\right.

.
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:48 pm

Συμπύκνωσα απλα το ποιές είναι οι αντίστροφες στα δυο διαστήματα. Ξέροντας ότι δεν υπάρχει αντίστροφη σε όλο το πεδίο ορισμού της  f "ανέβασα" και δύο διαφορετικά διαγράμματα . Τώρα αν αυτό μπορεί να εκληφθεί ώς ύπαρξη αντίστροφης να το αποσύρω να τελειώνουμε
.
Δεν είναι πώς θα το εκλάβουμε εμείς, αλλά είναι κατά δήλωσή σου, αφού γράφεις f^{-1}(x)=.... Εδώ γίνεται διασταλτική χρήση των συμβόλων στα Μαθηματικά. Εμείς μεν μπορούμε να τα ερμηνευσουμε από τα συμφραζόμενα, όμως μας διαβάζουν μαθητές. Πάντως δεν είναι μόνον εκεί το πρόβλημα αλλά, όπως γράφει ο Νίκος,
Νίκος Ζαφειρόπουλος έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 3:13 pm
Ούτε αυτό στέκει. H αντίστροφη της f(x)=4lnx,x>0 γιατί είναι η f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{4}} ,  {\color {red} {x>0}} ;
.
Συγκεκριμένα, σου λέει ότι η αντίστροστροφη στον κλάδο x>0 δεν είναι αυτή που γράφεις (έχεις λάθος πεδίο ορισμού) αλλά η f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{4}} για  {\color {red} { x\in \mathbb R}. Με άλλα λόγια η f^{-1} (ακόμη και αν δεχθούμε τον συμβολισμό σου) όφειλε να είναι

f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, {\color {red} {x\in \mathbb R}} \end{matrix}\right.

Όμως αυτό είναι προβληματικός συμβολισμός, με οποιοδήποτε μέτρο.

Τα γράφω αυτά για τους μαθητές αφού ένας από τους στόχους μας στην διδασκαλία των Μαθηματικών είναι η ακριβολογία.

Εν κατακλείδι, Η ΑΣΚΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ. Όσο και αν προσπαθούμε να δικαιολογήσουμε τα αδικιολόγητα, ολισθαίνουμε.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Αντίστροφη

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Νοέμ 01, 2019 9:36 am

Κάπως έπρεπε να συμβολιστούν τα επί μέρους. Αναγνωρίζω αυτό που γράφετε. Συνεπώς το διαγράφω και σας ευχαριστώ πολύ.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Αντίστροφη

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Νοέμ 28, 2019 8:53 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:48 pm
orestisgotsis έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm
Να βρεθεί η αντίστροφη της f(x)=\ln {{x}^{4}}
Αποκλείεται η f να αντιστρέφεται , αφού για -1\neq 1 είναι f(-1)=f(1).
Σου ζητάω συγνώμη, αλλά δεν είχα δει το μήνυμα.
Περιμένω τον καθηγητή που την έδωσε στα παιδιά να τους πει την απάντηση, διότι επιμένει.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Αντίστροφη

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Οκτ 31, 2019 9:07 am
Δε καταλαβαίνω πραγματικά. Το πεδίο ορισμού της f είναι το \mathbb{R}^*. Σε αυτό η f δεν είναι 1-1 αφού για διαφορετικά x_1,x_2 είναι f(x_1)=f(x_2) πράγμα εντελώς λογικό αφού η f είναι άρτια.
Είναι λάθος, αφού δεν είναι 1-1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες