Αντίστροφη

orestisgotsis · #1

Περιττό

Tolaso J Kos · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm
Να βρεθεί η αντίστροφη της $f(x)=\ln {{x}^{4}}$

Αποκλείεται η

να αντιστρέφεται , αφού για $-1\neq 1$ είναι f(-1)=f(1)

.

Ratio · #3

Αποσύρεται

orestisgotsis · #4

Περιττό

Tolaso J Kos · #5

Δε καταλαβαίνω πραγματικά. Το πεδίο ορισμού της

είναι το $\mathbb{R}^*$ . Σε αυτό η

δεν είναι 1-1 αφού για διαφορετικά x_1,x_2

είναι

πράγμα εντελώς λογικό αφού η

είναι άρτια.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 11:48 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 11:30 pm
Να βρεθεί η αντίστροφη της $f(x)=\ln {{x}^{4}}$
Αποκλείεται η να αντιστρέφεται , αφού για $-1\neq 1$ είναι .

Έχει δίκιο να διαμαρτύρεται ο Τόλης. Η άσκηση είναι εσφαλμένη, και η λύση επίσης.

Η λύση του Ratio βασίζεται στην εσφαλμένη ιδέα ότι αν μία συνάρτηση ορίζεται σε μία ένωση $A\cup B$ δύο ξένων συνόλων και αν είναι αντιστέψιμη σε καθένα από τα δύο σύνολα χωριστά, τότε είναι αντιστρέψιμη. Αυτό είναι ΛΑΘΟΣ. Ένα εύκολο παράδειγμα να δούμε γιατί είναι λάθος είναι η συνάρτηση f(x)=|x|

. Όλοι συμφωνούμε ότι δεν είναι αντιστρέψιμη παρ' όλο που είναι αντιστρέψιμη σε καθένα από τα $(-\infty, 0)\cup [0, \infty)$ .

Μάλιστα αν ακολουθήσουμε την εσφαλμένη λογική της λύσης του Ratio τότε η αντίστροφη της f(x)=|x|

θα βγει να είναι η $f^{-1}(x)=|x|$ (ο εαυτός της δηλαδή) καθώς η αντίστροφη της

στο $(-\infty, 0)$ είναι η

και της

στο $[0, \infty)$ είναι η

.

Τα γράφω όλα αυτά επειδή μας διαβάζουν μαθητές και καλό είναι να μην δίνουμε εσφαλμένες εντυπώσεις.

Πάντως κρατώ το παράδειγμα για να το δίνω στους φοιτητές μου ως ερώτηση κρίσης "να βρούν που είναι το σφάλμα στον συλλογισμό". Τέτοια έχω μαζέψει κάμποσα, κάποια από τα οποία είχα καταγράψει σε βιβλίο μου προς μαθητές, στο κεφάλαιο "Ερωτήσεις κρίσης, κρυμμενα λάθη". Ακολουθώ σε αυτό το παράδειγμα ενός βιβλίου του Ευκλείδη, δυστυχώς χαμένο σήμερα αλλά η πληροφορία είναι στο Υπόμνημα του Πρόκλου, με τίτλο Ψευδάρια.

Ratio · #7

Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο $R^{*}$

#8

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am
Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο $R^{*}$

Περίεργη η απάντησή σου. 'Οταν γράφεις

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am

$f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, x>0 \end{matrix}\right.$

τι ακριβώς εννοείς; Βλέπω ή δεν βλέπω $f^{-1}$ στον ορισμό της εν λόγω συνάρτησης;

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #9

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am
Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο $R^{*}$

Ούτε αυτό στέκει. H αντίστροφη της f(x)=4lnx,x>0

γιατί είναι η $f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{4}} , x>0$ ;

Ratio · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 11:29 am

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:18 am
Υπέδειξα απλά τους τύπους αντίστροφης στα επιμέρους σύνολα του πεδίου ορισμού της. Δεν αποφάνθηκα για το αν ειναι αντιστρέψιμη στο $R^{*}$
Περίεργη η απάντησή σου. 'Οταν γράφεις

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am

$f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, x>0 \end{matrix}\right.$

τι ακριβώς εννοείς; Βλέπω ή δεν βλέπω $f^{-1}$ στον ορισμό της εν λόγω συνάρτησης;

Συμπύκνωσα απλα το ποιές είναι οι αντίστροφες στα δυο διαστήματα. Ξέροντας ότι δεν υπάρχει αντίστροφη σε όλο το πεδίο ορισμού της

"ανέβασα" και δύο διαφορετικά διαγράμματα . Τώρα αν αυτό μπορεί να εκληφθεί ώς ύπαρξη αντίστροφης να το αποσύρω να τελειώνουμε

#11

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 5:52 am
$f(x)=4ln\left | x \right | =\left\{\begin{matrix} 4ln(-x) , x<0 \\ \\ \\ \\ 4ln(x), x>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

$f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, x>0 \end{matrix}\right.$

.

Ratio έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 10:48 pm

Συμπύκνωσα απλα το ποιές είναι οι αντίστροφες στα δυο διαστήματα. Ξέροντας ότι δεν υπάρχει αντίστροφη σε όλο το πεδίο ορισμού της "ανέβασα" και δύο διαφορετικά διαγράμματα . Τώρα αν αυτό μπορεί να εκληφθεί ώς ύπαρξη αντίστροφης να το αποσύρω να τελειώνουμε

.
Δεν είναι πώς θα το εκλάβουμε εμείς, αλλά είναι κατά δήλωσή σου, αφού γράφεις $f^{-1}(x)=...$ . Εδώ γίνεται διασταλτική χρήση των συμβόλων στα Μαθηματικά. Εμείς μεν μπορούμε να τα ερμηνευσουμε από τα συμφραζόμενα, όμως μας διαβάζουν μαθητές. Πάντως δεν είναι μόνον εκεί το πρόβλημα αλλά, όπως γράφει ο Νίκος,

Νίκος Ζαφειρόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 31, 2019 3:13 pm
Ούτε αυτό στέκει. H αντίστροφη της γιατί είναι η $f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{4}} , {\color {red} {x>0}}$ ;

.
Συγκεκριμένα, σου λέει ότι η αντίστροστροφη στον κλάδο x>0

δεν είναι αυτή που γράφεις (έχεις λάθος πεδίο ορισμού) αλλά η $f^{-1}(x)=e^{\frac{x}{4}}$ για ${\color {red} { x\in \mathbb R}$ . Με άλλα λόγια η $f^{-1}$ (ακόμη και αν δεχθούμε τον συμβολισμό σου) όφειλε να είναι

$f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} -e^{x/4}, x<0 \\ \\ \\ \\ e^{x/4}, {\color {red} {x\in \mathbb R}} \end{matrix}\right.$

Όμως αυτό είναι προβληματικός συμβολισμός, με οποιοδήποτε μέτρο.

Τα γράφω αυτά για τους μαθητές αφού ένας από τους στόχους μας στην διδασκαλία των Μαθηματικών είναι η ακριβολογία.

Εν κατακλείδι, Η ΑΣΚΗΣΗ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ. Όσο και αν προσπαθούμε να δικαιολογήσουμε τα αδικιολόγητα, ολισθαίνουμε.

Ratio · #12

Κάπως έπρεπε να συμβολιστούν τα επί μέρους. Αναγνωρίζω αυτό που γράφετε. Συνεπώς το διαγράφω και σας ευχαριστώ πολύ.

Αντίστροφη

Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση