Ταυτοτική συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$f(x) \leq x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$
$f(x+y) \leq f(x) + f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$

Να βρεθεί ο τύπος της

.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 11:17 pm
Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:
le le

$f(x) \leq x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

$f(x+y) \leq f(x) + f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$

Να βρεθεί ο τύπος της .

Η δεύτερη δίνει $f(0)=f(0+0)\le f(0)+f(0)$ , άρα $0\le f(0) \le 0$ . Έπεται f(0)=0

. Επίσης

$0=f(0)=f(x-x)\le f(x)+f(-x)\le x+(-x)=0$ , οπότε ισότητα παντού και άρα f(-x)=-f(x)

.

Από την $f(-x)\le -x$ έχουμε $x\le -f(-x)=f(x)\le x$ , άρα ισότητα παντού, που σημαίνει $\boxed {f(x)=x}$ .

Δεν ξέρω αν συντομεύεται, αλλά τέτοια ώρα μετά από κοπιαστική μέρα ... άντε βρες το.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2019 12:47 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 06, 2019 11:17 pm
Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:
le le

$f(x) \leq x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

$f(x+y) \leq f(x) + f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$

Να βρεθεί ο τύπος της .
Η δεύτερη δίνει $f(0)=f(0+0)\le f(0)+f(0)$ , άρα $0\le f(0) \le 0$ . Έπεται . Επίσης

$0=f(0)=f(x-x)\le f(x)+f(-x)\le x+(-x)=0$ , οπότε ισότητα παντού και άρα .

Από την $f(-x)\le -x$ έχουμε $x\le -f(-x)=f(x)\le x$ , άρα ισότητα παντού, που σημαίνει $\boxed {f(x)=x}$ .

Δεν ξέρω αν συντομεύεται, αλλά τέτοια ώρα μετά από κοπιαστική μέρα ... άντε βρες το.

Καλημέρα Μιχάλη .Συντομεύεται .
Αντιγραφω το δικό σου και προσθέτω με μπλέ.

Η δεύτερη δίνει $f(0)=f(0+0)\le f(0)+f(0)$ , άρα $0\le f(0) \le 0$ . Έπεται f(0)=0

. Επίσης

$0=f(0)=f(x-x)\le f(x)+f(-x)\le x+(-x)=0$ , οπότε ισότητα παντού και άραείναι
f(-x)=-x,f(x)=x

.

Ταυτοτική συνάρτηση

Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση