Ταυτοτική συνάρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4131
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ταυτοτική συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Δεκ 06, 2019 11:17 pm

Δίδεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύουν:
  • f(x) \leq x για κάθε x \in \mathbb{R}
  • f(x+y) \leq f(x) + f(y) για κάθε x, y \in \mathbb{R}
Να βρεθεί ο τύπος της f.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11809
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 07, 2019 12:47 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 11:17 pm
Δίδεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύουν:
le le
  • f(x) \leq x για κάθε x \in \mathbb{R}
  • f(x+y) \leq f(x) + f(y) για κάθε x, y \in \mathbb{R}
Να βρεθεί ο τύπος της f.
Η δεύτερη δίνει f(0)=f(0+0)\le f(0)+f(0), άρα 0\le f(0) \le 0. Έπεται f(0)=0. Επίσης

0=f(0)=f(x-x)\le f(x)+f(-x)\le x+(-x)=0, οπότε ισότητα παντού και άρα f(-x)=-f(x).

Από την f(-x)\le -x έχουμε x\le -f(-x)=f(x)\le x, άρα ισότητα παντού, που σημαίνει \boxed {f(x)=x}.

Δεν ξέρω αν συντομεύεται, αλλά τέτοια ώρα μετά από κοπιαστική μέρα ... άντε βρες το.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2805
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ταυτοτική συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 07, 2019 9:06 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Δεκ 07, 2019 12:47 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Δεκ 06, 2019 11:17 pm
Δίδεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} για την οποία ισχύουν:
le le
  • f(x) \leq x για κάθε x \in \mathbb{R}
  • f(x+y) \leq f(x) + f(y) για κάθε x, y \in \mathbb{R}
Να βρεθεί ο τύπος της f.
Η δεύτερη δίνει f(0)=f(0+0)\le f(0)+f(0), άρα 0\le f(0) \le 0. Έπεται f(0)=0. Επίσης

0=f(0)=f(x-x)\le f(x)+f(-x)\le x+(-x)=0, οπότε ισότητα παντού και άρα f(-x)=-f(x).

Από την f(-x)\le -x έχουμε x\le -f(-x)=f(x)\le x, άρα ισότητα παντού, που σημαίνει \boxed {f(x)=x}.

Δεν ξέρω αν συντομεύεται, αλλά τέτοια ώρα μετά από κοπιαστική μέρα ... άντε βρες το.
Καλημέρα Μιχάλη .Συντομεύεται .
Αντιγραφω το δικό σου και προσθέτω με μπλέ.

Η δεύτερη δίνει f(0)=f(0+0)\le f(0)+f(0), άρα 0\le f(0) \le 0. Έπεται f(0)=0. Επίσης

0=f(0)=f(x-x)\le f(x)+f(-x)\le x+(-x)=0, οπότε ισότητα παντού και άραείναι
f(-x)=-x,f(x)=x.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης