Συνέχεια και ακρότατο

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{tanx}{1-cotx}+\dfrac{cotx}{1-tanx} & , x\in (0,\dfrac{\pi}{4})\cup (\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{2})\\ & \\ 3& , x=\dfrac{\pi}{4} \end{matrix}\right.$

Είναι η συνάρτηση συνεχής ; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 12:49 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{tanx}{1-cotx}+\dfrac{cotx}{1-tanx} & , x\in (0,\dfrac{\pi}{4})\cup (\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{2})\\ & \\ 3& , x=\dfrac{\pi}{4} \end{matrix}\right.$

Είναι η συνάρτηση συνεχής ; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ;

Κάνοντας τις πράξεις για $x\neq \frac{\pi }{4}$
βρίσκουμε ότι
$f(x)=\dfrac{(\tan x)^{2}+\tan x+1}{\tan x}$

Αρα η συνάρτηση είναι συνεχής.

Είναι $f(\frac{\pi }{4})=3$

και εύκολα βλέπουμε ότι

$f(x)\geq 3$

μιας και είναι ισοδύναμο με το $(\tan x-1)^{2}\geq 0$

Αρα ελάχιστη τιμή το

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 12:49 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{tanx}{1-cotx}+\dfrac{cotx}{1-tanx} & , x\in (0,\dfrac{\pi}{4})\cup (\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{2})\\ & \\ 3& , x=\dfrac{\pi}{4} \end{matrix}\right.$

Είναι η συνάρτηση συνεχής ; Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ;

$\displaystyle \dfrac{{\tan x}}{{1 - \cot x}} + \dfrac{{\cot x}}{{\tan x - 1}} = \dfrac{{\tan x}}{{1 - \dfrac{1}{{\tan x}}}} + \dfrac{1}{{\tan x(\tan x - 1)}} = \dfrac{{{{\tan }^3}x - 1}}{{\tan x(\tan x - 1)}} =$

$\displaystyle \dfrac{{{{\tan }^2}x + \tan x + 1}}{{\tan x}} = \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} + 1 \Rightarrow f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} + 1,x \in (0,\dfrac{\pi }{4}) \cup (\dfrac{\pi }{4},0)\\ \\ 3,x = \dfrac{\pi }{4} \end{array} \right.$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \left( {\tan x + \frac{1}{{\tan x}} + 1} \right) = 3 = f(\frac{\pi }{4}),$ άρα συνεχής.

$\displaystyle f(x) = \tan x + \frac{1}{{\tan x}} + 1 \ge 2 + 1 = 3,$ τιμή που επιτυγχάνεται για $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$

Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω για τον κόπο.

Μάρκος Βασίλης · #4

Για τη συνέχεια, αρχικά, χρησιμοποιώντας τη σχέση $\tan x\cot x=1$ έχουμε για $x\in(0,\pi/2)$ με $x\neq\pi/4$ :

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)&=\frac{\tan x}{1-\frac{1}{\tan x}}+\frac{\frac{1}{\tan x}}{1-\tan x}=\\ &=\frac{\tan^2x}{\tan x-1}+\frac{1}{\tan x(1-\tan x)}=\\ &=\frac{\tan^3x-1}{\tan x(\tan x-1)}=\\ &=\frac{(\tan x-1)(\tan^2x+\tan x+1)}{\tan x(\tan x-1)}=\\ &=\frac{\tan^2x+\tan x+1}{\tan x}. \end{aligned}}$

Εύκολα βλέπουμε από εδώ ότι:

$\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}f(x)=\frac{1+1+1}{1}=3=f(\pi/4),}$

οπότε η

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Θεωρούμε, τώρα, τη συνάρτηση

$\displaystyle{g(x)=\frac{x^2+x+1}{x}=x+1+\frac{1}{x}, χ\in(0,+\infty)}$

οπότε παρατηρούμε ότι $f(x)=g(\tan x)$ - εδώ θέλει περισσότερη αυστηρότητα για το $x_0=\frac{\pi}{4}$ . Η

είναι παραγωγίσιμη με:

$\displaystyle{g'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x},}$

οπότε

1. η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1]

αφού

εκεί,
2. η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ αφού g'(x)>0

εκεί.
3. η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_0=1

το

.

Παρατηρούμε τώρα ότι για κάθε $x\in(0,\pi/2)$ έχουμε:

$\displaystyle{\tan x>0\Rightarrow g(\tan x)≥3\Rightarrow f(x)\geq3=f(\pi/4),}$

επομένως η ελάχιστη τιμή της

είναι 3.

Edit: Με πρόλαβαν άλλοι δύο, το αφήνω, ωστόσο για τον κόπο.

Συνέχεια και ακρότατο

Συνέχεια και ακρότατο

Re: Συνέχεια και ακρότατο

Re: Συνέχεια και ακρότατο

Re: Συνέχεια και ακρότατο

Μέλη σε σύνδεση