Άσκηση-έκπληξη με...ιστορικό περιεχόμενο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Άσκηση-έκπληξη με...ιστορικό περιεχόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Απρ 20, 2010 11:49 pm

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R.

Αν ισχύει:

\displaystyle{ 
|f(x)| \le \frac{{3x^2  + 4}}{7} 
}

για κάθε χ στο R

τότε να δείξετε πως υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε:

\displaystyle{ 
f(x_0 ) = x_0 ^{1821}  
}


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση-έκπληξη με...ιστορικό περιεχόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Απρ 21, 2010 12:02 am

Μια λύση:
Για x=1,x=-1 στην συνθήκη παίρνουμε f(1) \leq 1,f(-1) \geq -1.

Έστω g(x)=f(x)-x^{1821}

Τότε g(1)g(-1) \leq 0 άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει x_0 με τη ζητούμενη ιδιότητα.


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Άσκηση-έκπληξη με...ιστορικό περιεχόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Απρ 21, 2010 12:12 am

Μια λύση στην ... ιστορική άσκηση του Χρήστου.

Για κάθε \displaystyle{\,x \in \,\,R\,} ισχύει \displaystyle{\,\left| {\,f(x)\,} \right| \le \frac{{3x^2  + 4}}{7}\,\,\, \Leftrightarrow \,\, - \,\,\,\frac{{3x^2  + 4}}{7}\, \le \,\,f(x)\, \le \,\,\frac{{3x^2  + 4}}{7}\,\,(1)} .

Από την (1) βρίσκουμε ότι \displaystyle{f(1) \le 1\,\,(2)\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\,f( - 1)\,\, \ge  - 1\,\,\,(3)} .

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{h(x) = f(x) - x^{1821} } που είναι συνεχής στο R . Αν υποθέσουμε ότι η h δεν μηδενίζεται στο R τότε θα διατηρεί πρόσημο.

\displaystyle{a)\,\,\,\alpha \nu \,\,\,h(x) > 0\,\,\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,\,h(1) > 0 \Rightarrow f(1)\, > 1} που αντιβαίνει στην (2)

\displaystyle{\beta )\,\,\alpha \nu \,\,\,h(x) < 0\,\,\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,\,h( - 1) < 0 \Rightarrow f( - 1)\, <  - 1\,} που αντιβαίνει στην (3)

Συνεπώς υπάρχει \displaystyle{x_o  \in \,\,R} ,τέτοιο ώστε , \displaystyle{h(x_o ) = 0 \Rightarrow \,\,\,f(x_o ) = x_o^{1940}  } :)

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης