Όριο γινομένου

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11909
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Όριο γινομένου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 am

Όριο  γινομένου.png
Όριο γινομένου.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Το κέντρο του κύκλου (K,r) , r>4 , κινείται επί της ευθείας y=4 . Ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία B , C . α) Λύστε - ως προς r - την εξίσωση : OB\cdot BC=12

β) Βρείτε το όριο του γινομένου : OB\cdot BC , καθώς το r αυξάνει συνεχώς .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9815
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Όριο γινομένου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 04, 2020 10:46 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 am
Όριο γινομένου.pngΤο κέντρο του κύκλου (K,r) , r>4 , κινείται επί της ευθείας y=4 . Ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία B , C . α) Λύστε - ως προς r - την εξίσωση : OB\cdot BC=12

β) Βρείτε το όριο του γινομένου : OB\cdot BC , καθώς το r αυξάνει συνεχώς .
Υποθέτω (δεν το αναφέρει η εκφώνηση) ότι ο κύκλος εφάπτεται στον y'y στο σημείο A(0,4).
Όριο γινομένου.Κ.png
Όριο γινομένου.Κ.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές
α)
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
r = l + \dfrac{m}{2}\\ 
\\ 
{r^2} = 16 + \dfrac{{{m^2}}}{4} 
\end{array} \right. \Rightarrow m = 2\sqrt {{r^2} - 16} και \displaystyle l = r - \sqrt {{r^2} - 16}

\displaystyle lm = 12 \Leftrightarrow 2r\sqrt {{r^2} - 16}  - 2{r^2} + 32 = 12 \Leftrightarrow r\sqrt {{r^2} - 16}  = {({r^2} - 10)^2} \Leftrightarrow \boxed{r=5}


β) \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (lm) = \mathop {2\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {r\sqrt {{r^2} - 16}  - ({r^2} - 16)} \right) =

\displaystyle \mathop {2\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {r\sqrt {{r^2} - 16}  - ({r^2} - 16)} \right)\left( {r\sqrt {{r^2} - 16}  + ({r^2} - 16)} \right)}}{{\left( {r\sqrt {{r^2} - 16}  + ({r^2} - 16)} \right)}} =

\mathop {2\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{16{r^2}\left( {1 - \dfrac{{16}}{{{r^2}}}} \right)}}{{{r^2}\left( {\sqrt {1 - \dfrac{{16}}{{{r^2}}}}  + 1 - \dfrac{{16}}{{{r^2}}}} \right)}} = 16


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Όριο γινομένου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Παρ Σεπ 04, 2020 11:37 am

Η εξίσωση του κύκλου είναι:

\displaystyle{(x-r)^2+(y-4)^2=r^2,}

οπότε για y=0 έχουμε:

\displaystyle{x=r\pm\sqrt{r^2-16},}

συνεπώς τα δύο σημεία τομής με τον άξονα x'x είναι:

\displaystyle{B(r-\sqrt{r^2-16},0),\ C(r+\sqrt{r^2-16},0).}

Τώρα:

\displaystyle{OB\cdot BC=\left(r-\sqrt{r^2-16}\right)2\sqrt{r^2-16}=2r\sqrt{r^2-16}-2(r^2-16).}

Για την εξίσωση έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
OB\cdot BC=12&\iff2r\sqrt{r^2-16}-2(r^2-16)=12\\ 
&\iffr\sqrt{r^2-16}-r^2+16=6\\ 
&\iffr\sqrt{r^2-16}=r^2-10\\ 
&\overset{r>4}{\iff}r^2(r^2-16)=(r^2-10)^2\\ 
&\iff r^4-16r^2=r^4-20r^2+100\\ 
&\iff 4r^2=100\\ 
&\iff r=5. 
\end{aligned}}

Για το όριο:

\displaystyle{\begin{aligned} 
OB\cdot BC&=2r\sqrt{r^2-16}-2(r^2-16)=\\ 
&=2\left(r\sqrt{r^2-16}-r^2+16\right)=\\ 
&=2\left(\frac{(r\sqrt{r^2-16}-r^2)(r\sqrt{r^2-16}+r^2)}{r\sqrt{r^2-16}+r^2}+16\right)=\\ 
&=2\left(\frac{r^2(r^2-16)-r^4)}{r\sqrt{r^2-16}+r^2}+16\right)=\\ 
&=2\left(\frac{r^4-16r^2-r^4}{r^2\sqrt{1-16/r^2}+r^2}+16\right)=\\ 
&=2\left(\frac{-16r^2}{r^2(\sqrt{1-16/r^2}+1)}+16\right)=\\ 
&=2\left(\frac{-16}{\sqrt{1-16/r^2}+1}+16\right). 
\end{aligned}}

Συνεπώς:

\displaystyle{\lim_{r\to\infty}OB\cdot BC=\lim_{r\to\infty}2\left(\frac{-16}{\sqrt{1-16/r^2}+1}+16\right)=16.}

Edit: Γράφαμε παράλληλα με τον κ. Βισβίκη. Το αφήνω για τον κόπο.
τελευταία επεξεργασία από Μάρκος Βασίλης σε Παρ Σεπ 04, 2020 5:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7559
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Όριο γινομένου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Σεπ 04, 2020 12:44 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Σεπ 04, 2020 10:08 am
Όριο γινομένου.pngΤο κέντρο του κύκλου (K,r) , r>4 , κινείται επί της ευθείας y=4 . Ο κύκλος τέμνει τον άξονα x'x

στα σημεία B , C . α) Λύστε - ως προς r - την εξίσωση : OB\cdot BC=12

β) Βρείτε το όριο του γινομένου : OB\cdot BC , καθώς το r αυξάνει συνεχώς .
Ας είναι T η προβολή του K στην BC . προφανώς \left\{ \begin{gathered} 
  BT = TC = \frac{m}{2} \hfill \\ 
  m = 2\sqrt {{r^2} - 16} \,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Πάντα OB \cdot OC = O{A^2} = 16 \Rightarrow l(l + m) = 16 \Rightarrow \boxed{lm = 16 - {l^2} = f(l)}\,\,\,\left( 2 \right)

α) αν lm = 12 \Rightarrow {l^2} = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  l = 2 \hfill \\ 
  m = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  l = 2 \hfill \\ 
  \frac{m}{2} = BT = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

και άρα από το τρίγωνο TKM έχω \boxed{r = 5}
Οριο γινομένου.png
Οριο γινομένου.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
β) Από την \left( 1 \right) όταν r \to  + \infty έχω ότι και \boxed{m \to  + \infty }

Αφού τώρα lm = 12 \Rightarrow \boxed{l = \frac{{12}}{m}\mathop { \to 0}\limits_{m \to  + \infty } } έτσι κι αφού, από την \left( 2 \right), lm = f(l) = 16 - {l^2} θα έχω

\boxed{\mathop {\lim }\limits_{l \to 0} f(l) = \mathop {\lim }\limits_{l \to 0} \left( {16 - {l^2}} \right) = 16}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9815
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Όριο γινομένου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 04, 2020 12:51 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Σεπ 04, 2020 12:44 pm

β) Από την \left( 1 \right) όταν r \to  + \infty έχω ότι και \boxed{m \to  + \infty }

Αφού τώρα lm = 12 \Rightarrow \boxed{l = \frac{{12}}{m}\mathop { \to 0}\limits_{m \to  + \infty } } έτσι κι αφού, από την \left( 2 \right), lm = f(l) = 16 - {l^2} θα έχω

\boxed{\mathop {\lim }\limits_{l \to 0} f(l) = \mathop {\lim }\limits_{l \to 0} \left( {16 - {l^2}} \right) = 16}
Καλό! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες