Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Σεπ 19, 2020 12:06 pm

Άσκηση 1
Έστω \displaystyle f:[2,+\infty )\to R με \displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1. Να δείξετε ότι είναι \displaystyle 1-1 και να βρείτε την \displaystyle {{f}^{-1}}(x)
Λύση
\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3 και \displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}, άρα είναι \displaystyle 1-1 . Μετά :
\displaystyle \begin{array}{l} 
\left\{ \begin{array}{l} 
y = {(x + 2)^2} - 3\\ 
x \ge 2 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
y + 3 = {(x + 2)^2}\\ 
x \ge 2 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\sqrt {y + 3}  = |x + 2|}\\ 
{x \ge 2}\\ 
{y + 3 \ge 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\sqrt {y + 3}  = x + 2}\\ 
{x \ge 2}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right.\\ 
\\ 
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{x \ge 2}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{\sqrt {y + 3}  - 2 \ge 2}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{\sqrt {y + 3}  \ge 4}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{\sqrt {y + 3}  \ge 4}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \\ 
\\ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{y \ge 13}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{f^{ - 1}}(y) = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{y \ge 13} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x + 3}  - 2}\\ 
{x \ge 13} 
\end{array}} \right. 
\end{array}

Άρα : \displaystyle {{f}^{-1}}:[13,+\infty )\to [2,+\infty ) με \displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2

Άσκηση 2
Έστω \displaystyle f:[-2,+\infty )\to R με \displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1. Να δείξετε ότι είναι \displaystyle 1-1 και να βρείτε την \displaystyle {{f}^{-1}}(x)

Θεωρείτε ότι η άσκηση 2 πρέπει να έχει την ίδια ακριβώς αντιμετώπιση με την 1 ή όχι ;


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 352
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Σάβ Σεπ 19, 2020 11:34 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Σεπ 19, 2020 12:06 pm
Άσκηση 1
Έστω \displaystyle f:[2,+\infty )\to R με \displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1. Να δείξετε ότι είναι \displaystyle 1-1 και να βρείτε την \displaystyle {{f}^{-1}}(x)
Λύση
\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3 και \displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}, άρα είναι \displaystyle 1-1 . Μετά :
\displaystyle \begin{array}{l} 
\left\{ \begin{array}{l} 
y = {(x + 2)^2} - 3\\ 
x \ge 2 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
y + 3 = {(x + 2)^2}\\ 
x \ge 2 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\sqrt {y + 3}  = |x + 2|}\\ 
{x \ge 2}\\ 
{y + 3 \ge 0} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\sqrt {y + 3}  = x + 2}\\ 
{x \ge 2}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right.\\ 
\\ 
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{x \ge 2}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{\sqrt {y + 3}  - 2 \ge 2}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{\sqrt {y + 3}  \ge 4}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{\sqrt {y + 3}  \ge 4}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \\ 
\\ 
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{y \ge 13}\\ 
{y \ge  - 3} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{f^{ - 1}}(y) = \sqrt {y + 3}  - 2}\\ 
{y \ge 13} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x + 3}  - 2}\\ 
{x \ge 13} 
\end{array}} \right. 
\end{array}

Άρα : \displaystyle {{f}^{-1}}:[13,+\infty )\to [2,+\infty ) με \displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2

Άσκηση 2
Έστω \displaystyle f:[-2,+\infty )\to R με \displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1. Να δείξετε ότι είναι \displaystyle 1-1 και να βρείτε την \displaystyle {{f}^{-1}}(x)

Θεωρείτε ότι η άσκηση 2 πρέπει να έχει την ίδια ακριβώς αντιμετώπιση με την 1 ή όχι ;
Καλησπέρα Γιώργη.
Πολύ ωραίος και γόνιμος προβληματισμός.
Νομίζω ότι η διαφορά είναι στο πεδίο ορισμού καθώς και στο σύνολο τιμών.
Συνεπώς έχουμε x\geq -2 αντί για x\geq 2 και \sqrt{y+3}-2\geq -2 αντί για \sqrt{y+3}-2\geq 2.
Από τα παραπάνω προκύπτει :
\displaystyle {{f}^{-1}}:[-3,+\infty ) \to [-2,+\infty ) , \mu \varepsilon \,\,\,\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Σεπ 21, 2020 10:57 am

exdx έγραψε:
Σάβ Σεπ 19, 2020 12:06 pm

\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3 και \displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}, άρα είναι \displaystyle 1-1 .
Αυτό το κομμάτι είναι περιττό. Η λύση για το πρώτο είναι πλήρης αν κρατήσουμε μόνο τα επόμενα.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Σεπ 21, 2020 10:09 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Σεπ 21, 2020 10:57 am
Αυτό το κομμάτι είναι περιττό. Η λύση για το πρώτο είναι πλήρης αν κρατήσουμε μόνο τα επόμενα.
Συμφωνώ . Απλώς είχε χωριστό ερώτημα για το \displaystyle 1 - 1
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Σάβ Σεπ 19, 2020 11:34 pm
Συνεπώς έχουμε x\geq -2 αντί για x\geq 2 και \sqrt{y+3}-2\geq -2 αντί για \sqrt{y+3}-2\geq 2.
Από τα παραπάνω προκύπτει :
\displaystyle {{f}^{-1}}:[-3,+\infty ) \to [-2,+\infty ) , \mu \varepsilon \,\,\,\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2.
Ο προβληματισμός μου είναι αν χρειάζεται και στην άλλη άσκηση η απαίτηση \displaystyle x \ge  - 2 έστω κι αν δεν δίνει τελικά κάτι .
Η άσκηση είναι απ΄το study4exams και τη λύνουν όπως στο συνημμένο .
Συνημμένα
st4.png
st4.png (14.76 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Antonis Loutraris
Δημοσιεύσεις: 172
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis Loutraris » Τρί Σεπ 22, 2020 9:49 am

Γιώργη καλημέρα!

Ελπίζω να είσαι καλά!

Από καθαρά διδακτικής σκοπιάς, ανεξάρτητα αν στην συγκεκριμένη άσκηση δεν δίνει τελικά κάτι,
η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να γραφεί στην πορεία εύρεσης της αντίστροφης προκειμένου να μην υπάρξει σύγχυση
στο μαθητή πότε γράφουμε την απαίτηση για το x με βάση το πεδίο ορισμού και πότε όχι.


Αντώνης Λουτράρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης