Όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Οκτ 25, 2020 2:45 pm

Έστω \kappa \in \mathbb{N}^*. Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + x^2 + \cdots + x^\kappa - \kappa}{x-1}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 25, 2020 3:34 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Οκτ 25, 2020 2:45 pm
Έστω \kappa \in \mathbb{N}^*. Να υπολογιστεί το όριο

\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + x^2 + \cdots + x^\kappa - \kappa}{x-1}}
α) Με ένα βήμα l' Hospital αναγώμαστε στο όριο \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1} (1 +2x +3x^2 + \cdots +kx^{k-1})= 1+2+3+...+k= \frac {1}{2}k(k+1)

β) Αλλιώς το όριο γράφεται

\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 1} \left (\frac{x-1}{x-1} +  \frac{x^2-1}{x-1}} + ...+\frac{x^k-1}{x-1}} \right ) . O κάθε προσθετέος είναι της μορφής

\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 1} \left \frac{f(x) -f(1)}{x-1} = f'(1) , που δίνει το ίδιο άθροισμα με πριν.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9815
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 25, 2020 7:09 pm

Όπως το β) του Μιχάλη (αποφεύγοντας όμως λόγω φακέλου την παράγωγο).

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^k} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^{k - 1}}} \right) = k. Έτσι το ζητούμενο όριο γράφεται:

\displaystyle 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες