Όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4451
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Οκτ 28, 2020 10:03 pm

Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( e^{\sqrt{x+2}} + e^{\sqrt{x-2}} - 2 e^{\sqrt{x}} \right)}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Οκτ 31, 2020 10:47 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Οκτ 28, 2020 10:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( e^{\sqrt{x+2}} + e^{\sqrt{x-2}} - 2 e^{\sqrt{x}} \right)}.
Θέτουμε \displaystyle f(x)=e^{x^{\frac{1}{2}}}

Είναι

\displaystyle  f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}e^{x^{\frac{1}{2}}}

\displaystyle f''(x)=\frac{1}{4}.\frac{x^{\frac{1}{2}}-1}{x^{\frac{3}{2}}}e^{x^{\frac{1}{2}}}

\displaystyle f'''(x)=\frac{1}{8}.\frac{3-3x^{\frac{1}{2}}+x}{x^{\frac{5}{2}}}e^{x^{\frac{1}{2}}}

όλες θετικές για x>1
Θα δείξουμε ότι για x> 5,3>h> 0
είναι

\displaystyle f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\geq f''(x)\frac{h^{2}}{2}(1)
Από κυρτότητα έχουμε

\displaystyle f(x-h)\geq f(x)-f'(x)h(2)

Θεωρούμε την συνάρτηση

\displaystyle g(h)=f(x+h)-f(x)-f'(x)h-f''(x)\frac{h^2}{2}

είναι
\displaystyle g'(h)=f'(x+h)-f'(x)-f''(x)h=h(f''(\xi )-f''(x))\geq 0
αφού \xi >x
Αρα είναι

\displaystyle f(x+h)\geq f(x)+f'(x)h+f''(x)\frac{h^2}{2}(3)

Οι (3),(2) δίνουν την (1)
Επειδή είναι

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f''(x)=\infty

για h=2 παίρνουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι
\infty

Προφανώς ''έκλεψα'' τον Taylor.
Επίσης η λύση είναι εκτός φακέλου αφού χρησιμοποίησα παραγώγους.
Θα χαρώ ιδιαίτερα αν δοθεί λύση εντός φακέλου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης