Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( e^{\sqrt{x+2}} + e^{\sqrt{x-2}} - 2 e^{\sqrt{x}} \right)}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 10:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( e^{\sqrt{x+2}} + e^{\sqrt{x-2}} - 2 e^{\sqrt{x}} \right)}$ .

Θέτουμε $\displaystyle f(x)=e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Είναι

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}e^{x^{\frac{1}{2}}}$

$\displaystyle f''(x)=\frac{1}{4}.\frac{x^{\frac{1}{2}}-1}{x^{\frac{3}{2}}}e^{x^{\frac{1}{2}}}$

$\displaystyle f'''(x)=\frac{1}{8}.\frac{3-3x^{\frac{1}{2}}+x}{x^{\frac{5}{2}}}e^{x^{\frac{1}{2}}}$

όλες θετικές για x>1

Θα δείξουμε ότι για x> 5,3>h> 0

είναι

$\displaystyle f(x+h)+f(x-h)-2f(x)\geq f''(x)\frac{h^{2}}{2}$ (1)
Από κυρτότητα έχουμε

$\displaystyle f(x-h)\geq f(x)-f'(x)h$ (2)

Θεωρούμε την συνάρτηση

$\displaystyle g(h)=f(x+h)-f(x)-f'(x)h-f''(x)\frac{h^2}{2}$

είναι
$\displaystyle g'(h)=f'(x+h)-f'(x)-f''(x)h=h(f''(\xi )-f''(x))\geq 0$
αφού $\xi >x$
Αρα είναι

$\displaystyle f(x+h)\geq f(x)+f'(x)h+f''(x)\frac{h^2}{2}$ (3)

Οι (3),(2) δίνουν την (1)
Επειδή είναι

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }f''(x)=\infty$

για h=2

παίρνουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι
$\infty$

Προφανώς ''έκλεψα'' τον Taylor.
Επίσης η λύση είναι εκτός φακέλου αφού χρησιμοποίησα παραγώγους.
Θα χαρώ ιδιαίτερα αν δοθεί λύση εντός φακέλου.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση