Διαδοχικά διαστήματα

KARKAR · #1

Βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου

, για τον οποίον υπάρχει άλλος θετικός

ακέραιος

, ώστε η συνάρτηση : $f(x)=(n+1)+n\ell n x-(n-1)x$ , να έχει

από μία ρίζα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα : (m-1,m)

και

.

KARKAR · #2

Υπόδειξη : Παρατηρήστε ότι : f(1)=2

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 9:55 am
Βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου , για τον οποίον υπάρχει άλλος θετικός

ακέραιος , ώστε η συνάρτηση : $f(x)=(n+1)+n\ell n x-(n-1)x$ , να έχει

από μία ρίζα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα : και .

...μια προσέγγιση στις απαιτήσεις του θέματος...

Είναι η

παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\frac{n}{x}-(n-1),\,\,x>0$ και ${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{n}{n-1}$ για $n\ne 1$ .

Για n=1

είναι $f(x)=2+\ell nx,\,x>0$ και εύκολα δείχνουμε τότε ότι η

έχει μοναδική ρίζα στο (0,1)

οπότε δεν ικανοποιείται το ζητούμενο και έτσι $n\ge 2$ και τότε επειδή

${f}''(x)=-\frac{n}{{{x}^{2}}}<0,\,\,x>0$ η {f}'

είναι γνήσια φθίνουσα , τότε για $0<x<\frac{n}{n-1}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'(\frac{n}{n-1})=0$

επομένως η

γνήσια αύξουσα στο ${{\Delta }_{1}}=(0,\,\frac{n}{n-1}]$ και για $x>\frac{n}{n-1}\Rightarrow {f}'(x)<{f}'(\frac{n}{n-1})=0$

επομένως η

γνήσια φθίνουσα στο ${{\Delta }_{2}}=[\frac{n}{n-1},+\infty )$ και θα έχει τότε μέγιστο το

$f(\frac{n}{n-1})=1+n\ell n\left( \frac{n}{n-1} \right)>0$

και ακόμη επειδή $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty$ και f(1)=2>0

έχει για κάθε $n\ge 2$ μοναδική ρίζα στο

διάστημα $(0,\,1)$ άρα στο ${{\Delta }_{1}}=(0,\,\frac{n}{n-1}]$ αφού $\frac{n}{n-1}>1$ και αφού θέλουμε να έχει

από μία ρίζα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα : (m-1,m)

και

αναγκαία ο ακέραιος m=1

και θέλουμε μοναδική ρίζα στο $(1,\,\,2)$

Τώρα επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty$ με $f(x)=(n+1)+x\left[ n\frac{\ln x}{x}-(n-1) \right]$ και

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{x}=...=0$ και n>1

θα είναι $f({{\Delta }_{2}})=(-\infty ,\,\,f\left( \frac{n}{n-1} \right)]$ ή

$f({{\Delta }_{2}})=(-\infty ,\,\,1+n\ell n\left( \frac{n}{n-1} \right)]$ και αφού $0\in f({{\Delta }_{2}})$ η

έχει μοναδική ρίζα στο ${{\Delta }_{2}}=(\frac{n}{n-1},+\infty )$

Για να ανήκει η ρίζα στο $(1,\,\,2)$ πρέπει πρώτα $\frac{n}{n-1}<2\Leftrightarrow n<2n-1\Leftrightarrow n>1$ που ισχύει

και $f(2)<0\Leftrightarrow (n+1)+n\ell n2-(n-1)2<0\Leftrightarrow n>\frac{3}{1-\ln 2}$

Εχουμε τώρα $\frac{3}{1-\ln 2}>9\Leftrightarrow \frac{1}{3}>1-\ln 2\Leftrightarrow \ln 2>\frac{2}{3}\Leftrightarrow 2>{{e}^{\frac{2}{3}}}\Leftrightarrow 8>{{e}^{2}}$

που ισχύει άρα ελάχιστη τιμή του ακεραίου n=10

...μπορεί να γίνεται και καλύτερα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

KARKAR · #4

Επειδή : $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty$ και f(1)=2>0

, η

έχει , για κάθε $n\ge 1$ , ρίζα στο

διάστημα $(0,\,1)$ και αφού θέλουμε να έχει από μία ρίζα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα :

(m-1,m)

και

, θεωρούμε m=1

και θέλουμε ρίζα στο $(1,\,\,2)$ .

Για να ανήκει η ρίζα στο $(1,\,\,2)$ πρέπει f(2)<0

. Αλλά :

,

συνεπώς το f(2)

είναι φθίνουσα συνάρτηση του

( ευθεία με αρνητική κλίση ) .

Παρατηρώ ότι για : n=9

είναι

,

ενώ για n=10

, είναι :

, άρα ελάχιστη τιμή του ακεραίου n=10

.

Από την λύση του Βασίλη , τον οποίο ευχαριστώ , προέκυψαν δύο σημαντικές απορίες :

Η πρώτη : Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε χωρίς απόδειξη , ότι : $\dfrac{2}{3}<ln2<\dfrac{7}{10}$ ;

Και αν η αριστερά ανισότητα αποδεικνύεται ( αυτή του Βασίλη ) , πως θα δείξουμε την δεξιά ;

Η δεύτερη : Ο Βασίλης κοπίασε να αποδείξει την μοναδικότητα της κάθε ρίζας .

Αλλά είναι αυτό επιταγή της εκφώνησης ;

Η λύση που έδωσα δεν ασχολείται με την μοναδικότητα γι' αυτό είναι και πιο σύντομη .