αντιστροφη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

coheNakatos
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2009 4:29 pm

αντιστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από coheNakatos » Τρί Μάιος 11, 2010 11:05 am

Εαν f συνεχης τοτε και f^-1 συνεχης?(αν ναι γιατι?)

Ισχυει το ιδιο για την παραγωγισιμοτητα?


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: αντιστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Μάιος 11, 2010 12:05 pm

Αν η συνάρτηση είναι συνεχής, τότε η αντίστροφη δεν είναι απαραίτητα συνεχής. Για παράδειγμα η f(x)=x ,x \in [0,1) και f(x)=x-1, x \in [2,3] είναι συνεχής με αντίστροφη την g(x)=x, x \in [0,1) και g(x)=x+1, x \in [1,2], η οποία είναι ασυνεχής στο 1. Αν όμως η συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής. Αυτό αποδεικνύεται, όχι δύσκολα, αλλά δεν νομίζω πως υπάρχει απόδειξη στα πλαίσια της σχολικής ύλης. Μπορείς όμως να κοιτάξεις σε ένα οποιοδήποτε πανεπιστημιακό βιβλίο Απειροστικού Λογισμού και θα βρεις απόδειξη, όπως και απάντηση στη δεύτερη απορία σου.
Φιλικά


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: αντιστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Μάιος 11, 2010 12:07 pm

Αν η f είναι συχεχής και γνησίως μονότονη σε διάστημα Δ, τότε ορίζεται η \displaystyle{f^{ - 1} }
, η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και γνησίως μονότονη και με το ίδιο είδος μονοτονίας με την f

Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f να είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, αλλά η \displaystyle{f^{ - 1} }
να μην είναι συνεχής. Αυτό συμβαίνει γιατί το πεδίο ορισμού της f είναι ένωση διαστημάτων και οχι διάστημα.

Παράδειγμα:
\displaystyle{ 
f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
 x^2 \begin{array}{*{20}c} 
   {\alpha \nu } & {0 \le x \le 2}  \\ 
\end{array} \\  
 2x - 2\begin{array}{*{20}c} 
   {\alpha \nu } & {3 < x \le 4}  \\ 
\end{array} \\  
 \end{array} \right. 
}

έχουμε οτι

\displaystyle{ 
f^{ - 1} (x) = \left\{ \begin{array}{l} 
 \sqrt x \begin{array}{*{20}c} 
   {\alpha \nu } & {0 \le x \le 4}  \\ 
\end{array} \\  
 \frac{{x + 2}}{2}\begin{array}{*{20}c} 
   {\alpha \nu } & {4 < x \le 6}  \\ 
\end{array} \\  
 \end{array} \right. 
}

Ηρθα δεύτερος ,το αφήνω για να υπάρχει και ένα δεύτερο παράδειγμα.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: αντιστροφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τρί Μάιος 11, 2010 1:54 pm

έχουμε σχετική συζήτηση εδώ viewtopic.php?f=61&t=3696&p=19951
ο κύριος Κωστάκος έχει επιτύχει μια απόδειξη με χρήση ακολουθιών και ο κύριος Λάμπρου λέει πως έχει μια απόδειξη προσιτή σε μαθητές..ίσως ο ίδιος μπορούσε να βοηθήσει με μια τέτοια απόδειξη..


Μάνος Μανουράς
k-ser
Δημοσιεύσεις: 870
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 10:22 am
Τοποθεσία: Μουζάκι Καρδίτσας
Επικοινωνία:

Re: αντιστροφη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από k-ser » Τρί Μάιος 11, 2010 9:54 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:Αν η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διάστημα Δ, τότε ορίζεται η \displaystyle{f^{ - 1} }
, η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και γνησίως μονότονη και με το ίδιο είδος μονοτονίας με την f
Έχω την εντύπωση ότι η παρακάτω απόδειξη είναι ικανή για το παραπάνω.
Είναι εκτός εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου, αλλά εντός της ύλης που περιέχει το σχολικό βιβλίο.
gn.mon..pdf
(490.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 1233 φορές


Κώστας Σερίφης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες