Εύρεση λ

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Εύρεση λ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τετ Μάιος 26, 2010 9:17 pm

Έστω το πολυώνυμο f (x) , με πραγματικούς συντελεστές για το οποίο ισχύει
\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\lambda } \frac{{f(x)}}{{\left| {\,x - \lambda \,} \right|}} = 2\,\lambda  - 1\;,\;\lambda  \in R 
} . Να βρείτε το λ .


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1714
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εύρεση λ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Μάιος 26, 2010 10:32 pm

Καλησπέρα σε όλους:

Γνωρίζουμε ότι υπάρχει το όριο ,άρα και τα πλευρικά του, καθώς και ότι κάθε πολυώνυμο είναι παραγωγίσιμη * συνάρτηση.

2\lambda -1=\lim_{x\rightarrow \lambda ^{-}}\frac{f(x)}{-x+\lambda }=\lim_{x\rightarrow \lambda ^{-}}-f'(x)=-\lim_{x\rightarrow \lambda ^{-}}f'(x)=-f'(\lambda )

2\lambda -1=\lim_{x\rightarrow \lambda ^{+}}\frac{f(x)}{x-\lambda }=\lim_{x\rightarrow \lambda ^{+}}f'(x)=\lim_{x\rightarrow \lambda ^{+}}f'(x)=f'(\lambda )

Aπο τα παραπάνω έχουμε : 2\lambda -1=1-2\lambda \Rightarrow \lambda =0.5


* με συνεχή παράγωγο.
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Τετ Μάιος 26, 2010 10:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εύρεση λ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Μάιος 26, 2010 10:33 pm

Aς δώσουμε μια απάντηση.
Αν το λ δεν είναι ρίζα του πολυωνύμου, τότε το όριο θα δώσει + ή -οο.
Υποχρεωτικά λοιπόν είναι ρίζα.
Τότε f(x)=α(x-λ)Π(λ), με α το συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου(α διαφορετικός απο το μηδέν).
Αρα:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \lambda ^ +  } \frac{{f(x)}}{{|x - \lambda |}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \lambda ^ +  } \frac{{a(x - \lambda )\Pi (\lambda )}}{{(x - \lambda )}} = a\Pi (\lambda ) 
}

Επιπλέον:

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to \lambda ^ -  } \frac{{f(x)}}{{|x - \lambda |}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \lambda ^ -  } \frac{{a(x - \lambda )\Pi (\lambda )}}{{ - (x - \lambda )}} =  - a\Pi (\lambda ) 
}

Λόγω συνέχειας (η f πολυωνυμική) έχουμε:

\displaystyle{ 
a\Pi (\lambda ) =  - a\Pi (\lambda ) = 2\lambda  - 1 
} (1)
Έχουμε: αΠ(λ)=-αΠ(λ) <=>2αΠ(λ)=0 <=> Π(λ)=0, απ'όπου προκύπτει λ=1/2


Χρήστος Κυριαζής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης