Ανίσωση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f(x) = x^5 +x^3+x \, , \, x \in \mathbb{R}$ . Να λυθεί η ανίσωση

$\displaystyle{f^{-1}(x) - f^{-1}(x^2) > \ln x}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 11, 2023 10:41 pm
Έστω $f(x) = x^5 +x^3+x \, , \, x \in \mathbb{R}$ . Να λυθεί η ανίσωση

$\displaystyle{f^{-1}(x) - f^{-1}(x^2) > \ln x}$

.
Απάντηση: Σύνολο λύσεων το $(0,\, 1)$ .

Πεδίο ορισμού x>0

, λόγω του λογαρίθμου.

Εξετάζουμε περιπτώσεις:

α) x>1

. Τότε αφού η

είναι γνήσια αύξουσα ως άθροισμα τριών γνήσια αυξουσών, έπεται ότι και η $f^{-1}$ είναι γνήσια αύξουσα. Άρα $f^{-1} (x) < f^{-1}(x^2)$ . Συνεπώς $f^{-1} (x) - f^{-1}(x^2) <0 <\ln x$ . Δεν έχουμε ρίζα σε αυτή την περίπτωση.

β) x=1

. Τότε $f^{-1} (1) - f^{-1}(1^2) = 0 = \ln 1$ . Δεν έχουμε ρίζα ούτε σε αυτή την περίπτωση, δεδομένου ότι η προς επίλυση ανίσωση είναι γνήσια.

γ) 0<x<1

. Τότε

και άρα $f^{-1} (x) - f^{-1}(x^2) > 0 > \ln x$ . Δηλαδή όλα αυτά τα

ικανοποιούν την ανίσωση.

Edit: Έκανα διόρθωση απροσεξίας μου.

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση