Επίλυση συναρτησιακής ανισότητας

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Να υπολογίσετε τις συνεχείς συναρτήσεις $f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ οι οποίες ικανοποιούν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ την ιδιότητα
$f(x)^2\le\left\{\begin{matrix} x f(x)-\frac{x^2}{4} &, f(x)>0 \\ f(x) &, f(x)\le0 \\ \end{matrix}\right.$

Μια ενδεικτική λύση μπορεί κανείς να παρακολουθήσει εδώ https://youtu.be/UJPv-DIcUNI

#2

'Εγινε μια διόρθωση

αν $\displaystyle{f(x)>0}$ τότε $\displaystyle{(f(x)-x/2)^2\le 0 }$ και τότε $\displaystyle{f(x)-x/2=0}$ παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{f(x)>0 \Rightarrow x/2>0}$ αρα η λύση $\displaystyle{f(x)=x/2}$ είναι δεκτή στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$

αν $\displaystyle{x\le 0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(x)(f(x)-1)=0,f(x)\le 0}$ δεν μπορεί να υπάρξει $\displaystyle{{x\le 0:}$ , $\displaystyle{f(x)=1}$ αφού τότε $\displaystyle{1\le 0}$ και συνεπώς $\displaystyle{f(x)=0 \forall x\le 0}$ που και αυτή είναι δεκτή.

Aκομη και σε κάθε διάστημα $\displaystyle{(d,0]}$ ισχύει το ιδιο επιχείρημα οπότε $\displaystyle{f(x)=0 ,x\in (-\infty,0]}$ λύση που είναι δεκτή αφού εύκολα $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{R}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

R BORIS έγραψε: Πέμ Φεβ 29, 2024 9:05 am αν $\displaystyle{f(x)>0}$ τότε $\displaystyle{(f(x)-x/2)^2\le 0 }$ και παρατηρούμε ότι Για $\displaystyle{x>0 \Rightarrow f(x)=x/2>0}$ αρα η λύση είναι δεκτή στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$

αν $\displaystyle{x\le 0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(x)(f(x)-1)=0,f(x)\le 0}$ δεν μπορεί $\displaystyle{f(x)=1}$ αφού τότε $\displaystyle{1\le 0}$ και συνεπώς $\displaystyle{f(x)=0 \forall x\le 0}$

Aκομη και σε κάθε διάστημα $\displaystyle{(d,0]}$ ισχύει το ιδιο επιχείρημα οπότε $\displaystyle{f(x)=0 ,x\in (-\infty,0]}$ λύση που είναι δεκτή αφού εύκολα $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{R}$

H συνεπαγωγή " $x > 0 \Rightarrow f(x)=\frac{x}{2} > 0$ " είναι μη αποδείξιμη από τις υποθέσεις του προβλήματος (αν και είναι συνεπής ως προς αυτές όπως υποδηλώνει η λύση που εντοπίσατε). Aυτό που αποδεικνύεται εκεί που αναφέρετε "...παρατηρούμε ότι..." είναι η αντίστροφη συνεπαγωγή " $f(x)=\frac{x}{2} > 0 \Rightarrow x > 0$ ", οπότε ο υπολογισμός της f(x)

για

παραμένει εκκρεμής.

Επίλυση συναρτησιακής ανισότητας

Επίλυση συναρτησιακής ανισότητας

Re: Επίλυση συναρτησιακής ανισότητας

Re: Επίλυση συναρτησιακής ανισότητας

Μέλη σε σύνδεση