Ποιο είναι το λάθος στην αλλαγή μεταβλητής?

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνονται συναρτήσεις $f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες γνωρίζουμε ότι
$\lim\limits_{x\to x_o}g(x)=u_o\in\mathbb{R}$ (*)
$\lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell\in\mathbb{R}$ (**)

Ο συλλογισμός που ακολουθεί είναι λανθασμένος.
Να βρεθεί που βρίσκεται το πρόβλημα.
Η απάντηση να δικαιολογηθεί χωρίς αντιπαραδείγματα.

#1. θέτουμε u=g(x)

#2. από την (*) όταν $x\to x_o$ έχουμε $u\to u_o$
#3. από την (**) βρίσκουμε $\lim\limits_{u\to u_o}f(u)=\ell\in\mathbb{R}$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: Τρί Αύγ 20, 2024 8:03 pm ...

$\lim\limits_{x\to x_o}f(g(x))=\ell\in\mathbb{R}$ (**)

...

#3. από την (**) βρίσκουμε $\lim\limits_{u\to u_o}f(u)=\ell\in\mathbb{R}$

Ωραία διδακτική άσκηση.

To πρόβλημα στον συλλογισμό είναι ότι το #3. χρειάζεται όλα τα

κοντά στο

, αλλά η χρήση της (**) τα περιορίζει σε εκείνα που είναι της μορφής g(x)

, και άρα μπορεί να μην είναι όλα.

math8000 · #3

Επίσης πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι $u \neq u_0$ .

Ποιο είναι το λάθος στην αλλαγή μεταβλητής?

Ποιο είναι το λάθος στην αλλαγή μεταβλητής?

Re: Ποιο είναι το λάθος στην αλλαγή μεταβλητής?

Re: Ποιο είναι το λάθος στην αλλαγή μεταβλητής?

Μέλη σε σύνδεση