Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^*$ μας δίνουν έναν πραγματικό αριθμό $a_\nu$

Γνωρίζουμε ότι:
$\bullet$ Όλοι οι αριθμοί $a_\nu$ είναι μικρότεροι του 2025

$\bullet$ $a_\nu<a_{\nu+1}$ για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^*$

Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός

τέτοιος ώστε να ισχύουν οι εξής δυο συνθήκες:
#1. $a_\nu<m$ για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^*$ (πιο ψηλά απ' όλους)
#2. Για κάθε πραγματικό αριθμό

να ισχύει:
αν $a_\nu<M$ για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^*$ τότε $m\le M$ (όσο γίνεται λιγότερο)

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Η άσκηση μπορεί να λυθεί με τις γνώσεις που έχει ένας υποψήφιος των πανελληνίων εξετάσεων.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Σχετικό με αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 61&t=76214

#2

$\displaystyle{(a_n)}$ γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη άρα συγκλίνει προς το $\displaystyle{m=sup(a_n)}$
Το $\displaystyle{m}$ ειναι μοναδικό για κάθε φυσικό $\displaystyle{n}$ ισχυει $\displaystyle{m>a_n}$
αν $\displaystyle{M}$ ενα άνω φράγμα της $\displaystyle{(a_n)}$ τοτε $\displaystyle{M\ge m}$ αφου $\displaystyle{m}$ ειναι το ελάχιστο εκ των άνω φραγμάτων της $\displaystyle{a_n}$

(λυνεται και με χρηση του εψιλοντικου ορισμού)

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2024 8:42 am
$\displaystyle{(a_n)}$ γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη άρα συγκλίνει προς το $\displaystyle{m=sup(a_n)}$
Το $\displaystyle{m}$ ειναι μοναδικό για κάθε φυσικό $\displaystyle{n}$ ισχυει $\displaystyle{m>a_n}$
αν $\displaystyle{M}$ ενα άνω φράγμα της $\displaystyle{(a_n)}$ τοτε $\displaystyle{M\ge m}$ αφου $\displaystyle{m}$ ειναι το ελάχιστο εκ των άνω φραγμάτων της $\displaystyle{a_n}$

(λυνεται και με χρηση του εψιλοντικου ορισμού)

Ένας υποψήφιος των πανελλαδικών δεν γνωρίζει την έννοια του supremum. Ειδικότερα ο υποψήφιος αγνοεί την ιδιότητα των ακολουθιών στην οποία αναφέρεστε όπως και την ίδια την έννοια της σύγκλισης των ακολουθιών, η οποία μεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο (κατ' ακρίβειαν αναφέρεται η έννοια του ορίου ακολουθίας στο $\mathbb{R}$ ), αλλά δεν δουλεύεται.

Το

πρέπει να προκύψει έμμεσα με κάποιο απ' τα θεωρήματα που διατυπώνονται εντός του σχολικού βιβλίου θεωρώντας μια κατάλληλη συνάρτηση.

#4

δεν υπαρχει $\displaystyle{a_k}$ : $\displaystyle{a_k=2025}$ γιατι $\displaystyle{a_n>a_k=2025}$ για κάθε $\displaystyle{n>k}$ Ομως το 2025 είναι ανω φραγμα της ακολουθιας αρα το συνολο των ανω φραγμάτων της ακολουθιας πρεπει να ειναι το $\displaystyle{[2025,\infty)}$ μια που οποιοσδηποτε αριθμος $\displaystyle{χ>2025}$ ειναι ανω φραγμα της ακολουθιας Συνεπως το 2025 ειξναι το ελαχιστο εκ των ανω φραγμάτων της ακολουθιας.Το Μ ειναι ενα ανω φραγμα και $\displaystyle{m}$ το ελαχιστο. Αρα $\displaystyle{ m\le M}$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 17, 2024 1:34 pm
αρα το συνολο των ανω φραγμάτων της ακολουθιας πρεπει να ειναι το $\displaystyle{[2025,\infty)}$

Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι τέτοιο.
Αντιπαράδειγμα: η ακολουθία $a_n = 5- \dfrac{1}{n+1}$ είναι γνησίως αυξουσα και άνω φραγμένη και το 2025

είναι ένα άνω φράγμα της. Εντούτοις δεν είναι σωστό να πούμε ότι "το συνολο των ανω φραγμάτων της ακολουθιας πρεπει να ειναι το $\displaystyle{[2025,\infty)}$ ".

Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Re: Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Re: Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Re: Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Re: Πιο ψηλά απ' όλους αλλά όσο γίνεται λιγότερο

Μέλη σε σύνδεση