Μέγιστο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Παρ Ιουν 11, 2010 7:15 pm

Αν f : R \displaystyle{ 
 \to  
} R για την οποία ισχύει \displaystyle{ 
e^{ - f(x)}  - f(x) + 1 - x^2  = 0 
} , να δείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο .


Χρήστος Καρδάσης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2655
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Μέγιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιουν 11, 2010 8:49 pm

Η συνάρτηση g(t)=e^{-t}-t είναι γνησίως φθίνουσα.

Οπότε αφού

g(f(x))=x^2-1\geq -1

θα ισχύει

f(x)\leq a,

όπου a είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε g(a)=-1. (Η ύπαρξη του a έπεται, π.χ. από Bolzano στο (0,2).)

Αφού g(f(0))=-1=g(a), έπεται ότι η f λαμβάνει μέγιστο στο 0 ίσο με a.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιουν 11, 2010 8:53 pm

Βρήκα μια λύση, είναι λίιιιγο εκτός ύλης μη με βαρέσετε!

\displaystyle{ 
g(x) = e^{ - x}  - x + 1,x \in R 
}

Εύκολα (με την παράγωγο ή συνθετικά), ανακαλύπτουμε πως η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

Συνεπώς είναι αντιστρέψιμη στο R και η αντίστροφη συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με αυτή.(Το εκτός ύλης που λέγαμε)

Επιπλέον:

\displaystyle{ 
e^{ - f(x)}  - f(x) + 1 = x^2 ,\forall x \in R \Rightarrow g(f(x)) = x^2 ,\forall x \in R \Rightarrow f(x) = g^{ - 1} (x^2 ),\forall x \in R 
}

Όμως:

\displaystyle{ 
x^2  \ge 0,\forall x \in R \Rightarrow g^{ - 1} (x^2 ) \le g^{ - 1} (0),\forall x \in R \Rightarrow f(x) \le f(0),\forall x \in R 
}
Συνεπώς η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 , το f(0)


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Μέγιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Παρ Ιουν 11, 2010 8:57 pm

Την ανεβάζω μιας και την είχα ετοιμάσει . Είναι στο σκεπτικό της λύσης του Αχιλλέα
Θεωρούμε την \displaystyle{ 
g(x) = e^{ - x}  - x + 1 
}
οπότε \displaystyle{ 
g(f(x)) = x^2  
} . Αν \displaystyle{ 
h(x) = x^2  
} τότε gof=h
H h παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 δηλ. \displaystyle{ 
h(x) \ge h(0) 
} άρα \displaystyle{ 
g(f(x)) \ge g(f(0)) \Leftrightarrow f(x) \le f(0) 
}


Χρήστος Καρδάσης
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: Μέγιστο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Σάβ Ιουν 12, 2010 12:20 pm

chris_gatos έγραψε:και η αντίστροφη συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με αυτή.(Το εκτός ύλης που λέγαμε)
Κύριε Χρήστο γιατί είναι εκτός ύλης;;

αφού αν υπάρχουν x_1,x_2 με x_1<x_2 τέτοια ώστε f^{-1}(x_1)\leq f^{-1}(x_2)\Rightarrow f(f^{-1}(x_1))\geq  f(f^{-1}(x_2))\Rightarrow x_1\geq x_2

πράγμα άτοπο άρα η f^{-1} είναι γνησίως φθίνουσα...

EDIT: όπου f εννοώ g για την περίπτωσή μας... :D


Μάνος Μανουράς
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Μέγιστο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Ιουν 12, 2010 4:08 pm

Μάνο εννοούσα εκτός λύσης ως θεωρία. Αν πάρεις το πράσινο βιβλίο των δεσμών(του προκατόχου του σημερινού)
θα δείς την πρόταση σε περίοπτη θέση.


Χρήστος Κυριαζής
manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: Μέγιστο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Κυρ Ιουν 13, 2010 10:25 am

A, με την έννοια ότι δεν μπορεί να χρησιοποιηθεί έτοιμο στη Γ λυκείου..αυτό σωστό αλλά σώζεται, οπότε...


Μάνος Μανουράς
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης