όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 23, 2010 2:15 pm

Ένα όριο με διδακτικές προεκτάσεις (το έχουμε ξανασυζήτήσει αξίζει να το θυμηθούμε)
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+sinx}{x-sinx}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Ιουν 23, 2010 2:24 pm

mathxl έγραψε:Ένα όριο με διδακτικές προεκτάσεις (το έχουμε ξανασυζήτήσει αξίζει να το θυμηθούμε)
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}

Για \displaystyle{x\neq0} είναι \displaystyle{\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\frac{1+\sin x/x}{1-\sin x/x}}.

Έχουμε όμως ότι \displaystyle{0\leq|\sin x/x|\leq|1/x|\stackrel{x\to\pm\infty}{\longrightarrow}0}, άρα

\displaystyle{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+\sin x /x}{1-\sin x/x}=\frac{1+0}{1-0}=1}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 23, 2010 3:28 pm

Αυτός είναι ο μη προβληματικός τρόπος :) , διδακτικό ενδιαφέρον έχει ο τρόπος που θα ακολουθούσε η πλειονότητα των μαθητών :mrgreen:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Ιουν 23, 2010 3:40 pm

Πες το βρε Βασίλη, δεν μου πάει με κάποιον άλλο τρόπο...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Ιουν 23, 2010 3:43 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Πες το βρε Βασίλη, δεν μου πάει με κάποιον άλλο τρόπο...
Ούτε εμ1.. :P Ας το πάρει το ποτάμι!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιουν 23, 2010 3:44 pm

Εικάζω πως ο Βασίλης μιλάει για del'hospitaliasma μέχρις εσχάτων...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: όριο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 23, 2010 3:47 pm

Επ..ούτε να φάμε δεν μπορούμε βρε παιδιά...
Λοπόν αναφέρομε στο τυροπιτάλ
Πιο συγκεκριμένα κάποιος θα μπορούσε να γράψει
\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + \eta \mu x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x\left( {1 + \frac{{\eta \mu x}}{x}} \right)} \right] = \left( { + \infty } \right)\left( {1 + 0} \right) =  + \infty }
το ίδιο να κάνει για τον παρονομαστή και έπειτα να τυροπιταλιάσει
Τι λέτε; :mrgreen:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Ιουν 23, 2010 3:48 pm

Χλωμό, δεν κάνουν τέτοια οι μαθητές μας... και το χ δεν θα το απλοποιούσε;

Θες να μας πει ότι θα τα έκανε ξεχωριστά στον αριθμητή και στον παρονομαστή;;


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: όριο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 23, 2010 3:51 pm

Σωστά ΄Μάκη, αν βγάλει κοινό παράγοντα το χ σιγά μην κάνει τυροπιτάλ, ωστόσο το διδακτικό μέρος βρίσκεται στην αντιμετώπιση με το τυροπιταλ


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Ιουν 23, 2010 5:10 pm

Συμπέρασμα, ο Ντιροπιτάλ πρέπει να βγει εκτός ύλη γιατί μπερδεύει τα παιδιά!!

Προβοκάτορα Βασίλη!!

Υ.Γ, είμαι στο Ευγενίδιο Ίδρυμα (ξεκινάει τελικά στις 6!!)


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: όριο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τετ Ιουν 23, 2010 5:36 pm

Δεν θα το έλεγα. Είμαι υπέρ μιας τυρόπιτας (τονώνει και παρέχει απαιτούμενη πρωινή ενέργεια για όσους δεν παίρνουν πρωινό σπίτι τους ).
Αυτό που (μετά την συζήτηση που θα προέκυπτε μετά από μία λανθασμένη αντιμετώπιση με χρήση τυροπιτάλ) ήθελα να τονίσω είναι η ανάγκη επαναδιατύπωσης του κανόνα στο σχολικό και όχι το σουτάρισμα του. Κανόνας που κατά την γνώμη μου διευκολύνει και δεν μπερδεύει.
Στην συγκεκριμένη άσκηση η παράγωγος του παρονομαστή δεν πρέπει να μηδενίζει σε μια περιοχή του +οο, δηλαδή στο (α,+οο) αλλά τέτοιο α δεν μπορεί να βρεθεί.
Επίσης η μη ύπαρξη του ορίου του πηλίκου των παραγώγων δεν σημαίνει και την μη ύπαρξη του ορίου του πηλίκου των συναρτήσεων όπως παρατηρούμε από την συγκεκριμένη άσκηση. Άρα ο κανόνας τυροπιτάλ στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν ισχύει


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2180
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: όριο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Τετ Ιουν 23, 2010 10:23 pm

Μετά από όλες αυτές τις τυρόπιτες (αδηφάγοι!) τι θα λέγατε για λίγη δίαιτα στο

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}}

ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΧΙ ΑΛΛΕΣ ΤΥΡΟΠΙΤΕΣ


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2546
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: όριο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τετ Ιουν 23, 2010 10:49 pm

mathxl έγραψε:Ένα όριο με διδακτικές προεκτάσεις (το έχουμε ξανασυζήτήσει αξίζει να το θυμηθούμε)
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+sinx}{x-sinx}
Το χα δοκιμάσει να το κάνουν κάποιοι μαθητές αυτό το όριο, οι καλοί το προσπάθησαν σωστά, αλλά έλαβα και την εξής απάντηση :

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+sinx}{x-sinx}= \lim_{x\to\infty}\frac{1+cosx}{1-cosx}= \lim_{x\to\infty}\frac{-sinx}{sinx}= \lim_{x\to\infty} -1 = -1

Πώς σας φαίνεται;
Καλό εεεε?


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: όριο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Ιουν 24, 2010 1:19 am

R BORIS έγραψε:Μετά από όλες αυτές τις τυρόπιτες (αδηφάγοι!) τι θα λέγατε για λίγη δίαιτα στο

\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}}

ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΧΙ ΑΛΛΕΣ ΤΥΡΟΠΙΤΕΣ
Μια προσέγγιση με σταφιδόψωμο λοιπόν...

Για \displaystyle{x\neq0} είναι \displaystyle{\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\frac{1+\sin x/x}{1-\sin x/x}}. Όμως για \displaystyle{x\neq0} πάλι είναι \displaystyle{\frac{\sin x}{x}<1}, συνεπώς \displaystyle{1-\frac{\sin x}{x}>0} και επιπλέον \displaystyle{\lim_{x\to0}\sin x/x=1} άρα

\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{1+\sin x/x}{1-\sin x/x}=+\infty}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: όριο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Πέμ Ιουν 24, 2010 8:52 am

Όμως εδώ ο τυροπιτάλ δουλεύει μια χαρά την πρώτη φορά και καταλήγεις στο δεύτερο όριο με παρονομαστή 1 - cosx με χ->0 που είναι πιο απλό να βρείς το πρόσημο του παρονομαστή από αυτό που έκανε ο Πέλερμαν Αναστάσης, άρα ζήτω οι τυρόπιτες και οι μπουγάτσες!!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης