Ερώτηση στις 1-1

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

gurgagr
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τετ Ιουν 23, 2010 3:42 pm

Ερώτηση στις 1-1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gurgagr » Τετ Ιουν 23, 2010 4:05 pm

Γειά σας θα ήθελα να ρωτήσω όταν έχουμε μια συνάρτηση με διαφορετικές μορφές αναλόγως που ανήκει το x τότε πως αποδεικνύουμε ότι είναι 1-1?

π.χ. f:[0,2] --> (0.2)

f(x)=\left\{ 
\begin{array}{rl} 
\frac{1}{2} & \text{if } x = 0,\\ 
\\ 
\frac{1}{n+2} & \text{if } x = \frac{2}{n} \text{ n=1,2,3,...},\\ 
\\ 
x & \text{if } x \neq 0, \frac{2}{n} 
\end{array} \right.

Πως δείχνω με τον ορισμό ότι είναι 1-1?
Αν πάρω x_1,x_2 σε κάθε πεδίο ξεχωριστά που ορίζονται τα x τότε είναι ένα προς ένα όμως πως θα αποδείξω ότι π.χ. για κάποιο x που ανήκει στην δεύτερη περίπτωση δεν θα πάρω το ιδιο f(x) που θα μου δώσει ένα x στην τρίτη περίπτωση?

Ευχαριστώ!


manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: Ερώτηση στις 1-1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τετ Ιουν 23, 2010 4:23 pm

πρέπει να δείξεις ότι είναι ένα 1-1 σε καθένα απ αυτά τα σύνολα και και σε όλους τους συνδυασμους τους..\Δηλαδή π.χ. έστω τυχόν x_1 \in στο πρώτο σύνολο και τυχόν x_2 \in στο δεύτερο και μετά τον ορισμό και όλους τους άλλους συνδυασμους..Αν δεν είμαι κατανοητός θα εξηγήσω παραπάνω..


Μάνος Μανουράς
gurgagr
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τετ Ιουν 23, 2010 3:42 pm

Re: Ερώτηση στις 1-1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gurgagr » Τετ Ιουν 23, 2010 4:37 pm

δηλαδή εννοείς αν πάρουμε όλες τις περιπτώσεις :

Έστω x_1=0 και x_2  \in A=\left\{\frac{2}{n},...,\frac{2}{3},1,2\right\} . (1η με 2η μορφή)

Έστω x_1=0 και x_2 \in (0,2]-A (1η με 3η)

Έστω x_1 \in A=\left\{\frac{2}{n},...,\frac{2}{3},1,2\right\} και x_2 \in (0,2]-A (2η με 3η)


Θα πρέπει σε κάθε περίπτωση για x_1 \neq x_2 να καταλήξουμε f(x_1)\neq f(x_2) Αυτό λές έτσι?Ωραία συγκεκριμένα πως δείχνω την 2η με την 3η?


manos1992
Δημοσιεύσεις: 293
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 07, 2009 6:53 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν.Σμύρνη

Re: Ερώτηση στις 1-1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manos1992 » Τετ Ιουν 23, 2010 5:01 pm

Πρέπει επίσης να το δείξεις και για τα μεμονομένα σύνολα...

για 2η, 3η με άτοπο, αν ήταν ίσα τότε \displaystyle x_2=\frac{1}{n+2}=\frac{2}{2n+4}=\frac{2}{k} άτοπο...άρα f(x_1) \neq f(x_2)...κατάλαβες ή το πα όπως να ναι;;


Μάνος Μανουράς
gurgagr
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τετ Ιουν 23, 2010 3:42 pm

Re: Ερώτηση στις 1-1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gurgagr » Τετ Ιουν 23, 2010 5:11 pm

ωραία μια χαρά ,αν όμως η f(x) έχει n κλαδιά , δηλ. n διαφορετικούς τύπους ανάλογα με το πεδίο που ορίζεται το x εκεί τι γίνεται? Το να πάρουμε περιπτώσεις είναι λίγο δύσκολο... :shock:

Θα χρειαζόμασταν \binom{n}{2} αποδείξεις...


sxima
Δημοσιεύσεις: 55
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 07, 2009 6:32 pm

Re: Ερώτηση στις 1-1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sxima » Πέμ Ιουν 24, 2010 12:08 am

Για να δείξεις ότι μια συνάρτηση , που η τιμή της ορίζεται με κλάδους, είναι 1-1 , αρκεί να δείξεις
ότι ο κάθε κλάδος είναι 1-1 στο σύνολο που ορίζεται και έπειτα να δείξεις ότι τα σύνολα τιμών
των κλάδων ,ανά δύο, δεν έχουν κοινά στοιχεία.


gurgagr
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τετ Ιουν 23, 2010 3:42 pm

Re: Ερώτηση στις 1-1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gurgagr » Πέμ Ιουν 24, 2010 1:05 am

sxima διαισθητικά συμφωνώ...στην πράξη πωσ θα δείξω ότι η τομή των συνόλων είναι κενή? Αν μπορείς συγκεκριμένα στο παράδειγμά... αλλά και γενικά πάλι
η διαδικασία είναι τεράστια όταν είναι πολλοί κλάδοι...


makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: Ερώτηση στις 1-1

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Πέμ Ιουν 24, 2010 1:24 am

gurgagr,

μπορουν επισης να σου δωσουν δυο συναρτησεις f,g και η καθε μια να εχει 100 κλαδους και να σου ζητουν να βρεις το αθροισμα f+g .Δε θα κανεις όλες αυτες τις προσθεσεις ? Πιστευω δεν τιθεται θεμα να σου ζητηθει κατι τετοιο τουλαχιστον σε επιπεδο λυκειου.

Παρ'ολα αυτα , ενας αλλος τροπος για να δειξεις οτι ειναι 1-1 (ισως και οχι τοσο προσφιλης) ειναι να δειξεις οτι η εξισωση f(x)=y έχει μοναδική λύση ως προς χ

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που έχεις , f(x) = y => λύνεις κάθε εξισωση χωριστα ως προς χ κλπ... και εδω φυσικα στην περιπτωση ν κλαδων θα εχεις πολυ δουλεια.


gurgagr
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Τετ Ιουν 23, 2010 3:42 pm

Re: Ερώτηση στις 1-1

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gurgagr » Πέμ Ιουν 24, 2010 2:16 am

makisman ευχαριστώ επίσης για την όλη απάντηση. Θα διαφωνήσω όμως στο σημείο που απαντάς "...σου ζητηθει κατι τετοιο τουλαχιστον σε επιπεδο λυκειου" Ακόμη και να ισχύει κάτι τέτοιο για μαθηματικά μιλάμε...δεν μιλάμε για ύλη ή τύπους ασκήσεων.
Το έβαλα στο θέμα του λυκείου -συναρτήσεις γιατί νομίζω οι μαθητές ασχολούνται με 1-1 στη γ' τάξη... αλλιώς αν έβρισκα ένα σύνδεσμο για θεωρία συνόλων θα το "πέταγα" εκεί. Και μιας και το ανέφερα όπως καταλαβαίνετε η συνάρτηση που έθιξα είναι μια αντιστοιχία από το [0,2] στο (0,2) για να δείξω την ισοπληθικότητα των συνόλων αυτών με την κλασική μέθοδο εύρεσης αντιστοιχίας και όχι με κάποιο αξίωμα ύπαρξης...
Και αναρρωτήθηκα, αυτό που με ενδιαφέρει άμεσα να αποδείξω δεν είναι ότι είναι 1-1 μιας και εγώ την κατασκεύασα ,αλλά θέλω παρ'ολα αυτά αν μου είχε ζητηθεί η απόδειξη του ισομορφισμού σε μια κατασκευαστική f με πολλά "κλαδιά" αν υπήρχε καμία ευκολότερη διέξοδος από την κλασική απόδειξη ....


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης