Συμπαθητικούλα ύπαρξη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Συμπαθητικούλα ύπαρξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Τρί Ιούλ 20, 2010 8:45 pm

Εστω f,g:A=[0,1]\rightarrow A συναρτήσεις γν. φθίνουσες και συνεχείς στο A με fog=gof στο A.
Να δείξετε ότι υπάρχει \xi\in A ώστε f(\xi )=\xi και g(\xi )=\xi


Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Συμπαθητικούλα ύπαρξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τρί Ιούλ 20, 2010 9:08 pm

Θεωρούμε h(x) = f(x) - x συνεχή στο [ 0 , 1 ] .
h(0) = f(0) >= 0 ενώ h(1) = f(1) - 1 <= 0
Μία περίπτωση να είναι ρίζες τα άκρα 0 ή 1
Διαφορετικά με Bolzano στο [ 0 , 1 ] υπάρχει ξ με h(ξ) = 0 δηλ. f(ξ) = ξ .
Αν g(ξ) > ξ (1) τότε είναι f(g(ξ)) < f(ξ) δηλ. g(f(ξ)) < ξ και λόγω της (1) θα είναι g(f(ξ)) < g(ξ) δηλ. f(ξ) > ξ , άτοπο .
Όμοια αν υποθέσουμε ότι g(ξ) < ξ

Διορθώθηκαν ... ευχαριστώ Παύλο .
τελευταία επεξεργασία από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ σε Τρί Ιούλ 20, 2010 10:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Καρδάσης
pastavr
Δημοσιεύσεις: 142
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 5:50 pm

Re: Συμπαθητικούλα ύπαρξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pastavr » Τρί Ιούλ 20, 2010 10:22 pm

Αρχικά νομίζω πως ο Χρήστος ήθελε να γράψει ότι h(0) > = 0 και h(1) < = 0
Κάτι δεν καταλαβαίνω με την άσκηση . Αν κάναμε για την g οτι έκανε ο Χρήστος για την f ( δηλαδή αν ορίζαμε μία συνάρτηση q(x) = g(x) - x ) και κάναμε bolzano δεν θα έβγαινε το συμπέρασμα ; Τότε όμως σε τι χρειάζονται οι συνθέσεις ;
Αν κάτι δεν καταλαβαίνω παρακαλώ διορθώστε με
Παύλος

Ο.Κ τώρα το κατάλαβα , Αν εργαζόμαστε όπως προτείνω παραπάνω δεν θα ήταν υποχρεωτικά το ίδιο ξ
Αυτά παθαίνει όποιος βιάζεται


Παύλος Σταυρόπουλος
makisman
Δημοσιεύσεις: 288
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: Συμπαθητικούλα ύπαρξη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από makisman » Τρί Ιούλ 20, 2010 11:39 pm

Σωστά Χρήστο. Να παραθέσω τη δική μου λύση

μεχρι και Bolzano συμφωνούμε

έπειτα,

f( \xi)=\xi\Rightarrow g(f(\xi))=g(\xi) \Rightarrow f(g(\xi))=g(\xi) (1)

όμως η f είναι γ.φθινουσα στο A άρα και η h(x)=f(x)-x (ώς άθροισμα γ. φθινουσών συναρτήσεων, αποδεικνύεται πολύ εύκολα) κάι συνεπώς είναι 1-1

οπότε η h έχει μοναδική λύση στο A το \xi .Αρα από (1) έχω g(\xi)=\xi


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1517
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Συμπαθητικούλα ύπαρξη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Ιαν 25, 2011 12:55 am

...έπεσε το μάτι μου εδώ ψαχνοντας μία ασκηση....και θα ήθελα να προσθέσω για την παραπάνω ύπαρξη....

επειδή f είναι γνήσια φθίνουσα στο [0, 1] θα είναι f(1)<f(0) και επειδή από υπόθεση f:\,[0,\,1]\to [0,\,1] θα είναι 0\le f(1)<f(0)\le 1
άρα 0<f(0) και f(1)<1 οπότε δεν μπορεί να είναι ρίζες το 0 και το 1


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Συμπαθητικούλα ύπαρξη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Ιαν 25, 2011 11:40 pm

νομίζω ότι θέλει συμπλήρωση ότι υπάρχει μοναδικό ξ για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης