Συναρτησιακή

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Πέμ Ιούλ 22, 2010 6:52 pm

Έστω f : R \to R μία συνάρτηση για την οποία ισχύει \displaystyle{f({x^2} + {y^2}) = x \cdot f(x) + y \cdot f(y)} για κάθε x,y \in R . Να δείξετε ότι
α) f(0) = 0
β) η f είναι περιττή
γ) \displaystyle{f(x + y) = f(x) + f(y)} για κάθε x,y \in R

Είναι άλυτη από φροντιστηριακό βιβλίο .
Ο τρόπος που την έλυσα απαιτεί αλλαγή στο γ) ερώτημα στο x,y \in R .
Δείτε την και τα λέμε ;)


Χρήστος Καρδάσης
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2181
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Ιούλ 23, 2010 12:15 am

Για \displaystyle{x=y=0} στην δοσμένη παίρνουμε \displaystyle{f(0)=0}

Για \displaystyle{y=0} στην δοσμένη παίρνουμε \displaystyle{f(x^2)=xf(x),\forall x\in R} τότε θέτοντας όπου χ το -χ σ΄ αυτήν εδώ έχω \displaystyle{-xf(-x)=xf(x)} αφού και οι δυο παραστάσεις είναι ίσες με \displaystyle{f(x^2)=f((-x)^2)}.
Προκύπτει λοιπόν \displaystyle{x(f(x)+f(-x))=0\forall x\in R}. Για \displaystyle{x\ne 0 \Rightarrow f(-x)=-f(x)} σχέση που ισχύει και όταν \displaystyle{x=0} αφού \displaystyle{f(0)=0}

Επειδή \displaystyle{xf(x)=f(x^2),yf(y)=f(y^2)}} η δοσμένη γίνεται \displaystyle{f(a+b)=f(a)+f(b),\forall a,b\in[0,+\infty)} . Αν \displaystyle{a<0\Rightarrow -a>0} όμοια και για το b οπότε η αρχικά δοσμένη σχέση ισχύει για τα -a,-b δηλαδή\displaystyle{f(-a-b)=f(-a)+f(-b) \Rightarrow -f(a+b)=-(f(a)+f(b)) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)}} ισχύει για όλα τα x,y του R
Μετά από ΠΜ του Βασίλη
Εχουμε δείξει την Cauchy για ομόσημους x,y
\displaystyle{x>0,y>0 ,x>y}τότε \displaystyle{f(x-y)+f(y)=f(x-y+y)=f(x)\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)} για μη αρνητικούς και όμοια για μη θετικούς
Αν \displaystyle{x>0,y<0,x+y>0} έχουμε \displaystyle{f(x+y)=f(x-(-y))=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y)} (ομοια και όταν x+y<0)


Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Παρ Ιούλ 23, 2010 8:08 am

Ευχαριστώ για την ενασχόληση Ροδόλφε και Βασίλη :coolspeak:


Χρήστος Καρδάσης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης