mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 22, 2010 6:52 pm**

Έστω f : R $\to$ R μία συνάρτηση για την οποία ισχύει $\displaystyle{f({x^2} + {y^2}) = x \cdot f(x) + y \cdot f(y)}$ για κάθε $x,y \in R$ . Να δείξετε ότι
α) f(0) = 0
β) η f είναι περιττή
γ) $\displaystyle{f(x + y) = f(x) + f(y)}$ για κάθε $x,y \in R$

Είναι άλυτη από φροντιστηριακό βιβλίο .
Ο τρόπος που την έλυσα απαιτεί αλλαγή στο γ) ερώτημα στο $x,y \in R$ .
Δείτε την και τα λέμε

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 23, 2010 12:15 am**

Για $\displaystyle{x=y=0}$ στην δοσμένη παίρνουμε $\displaystyle{f(0)=0}$

Για $\displaystyle{y=0}$ στην δοσμένη παίρνουμε $\displaystyle{f(x^2)=xf(x),\forall x\in R}$ τότε θέτοντας όπου χ το -χ σ΄ αυτήν εδώ έχω $\displaystyle{-xf(-x)=xf(x)}$ αφού και οι δυο παραστάσεις είναι ίσες με $\displaystyle{f(x^2)=f((-x)^2)}$ .
Προκύπτει λοιπόν $\displaystyle{x(f(x)+f(-x))=0\forall x\in R}$ . Για $\displaystyle{x\ne 0 \Rightarrow f(-x)=-f(x)}$ σχέση που ισχύει και όταν $\displaystyle{x=0}$ αφού $\displaystyle{f(0)=0}$

Επειδή $\displaystyle{xf(x)=f(x^2),yf(y)=f(y^2)}}$ η δοσμένη γίνεται $\displaystyle{f(a+b)=f(a)+f(b),\forall a,b\in[0,+\infty)}$ . Αν $\displaystyle{a<0\Rightarrow -a>0}$ όμοια και για το b οπότε η αρχικά δοσμένη σχέση ισχύει για τα -a,-b δηλαδή $\displaystyle{f(-a-b)=f(-a)+f(-b) \Rightarrow -f(a+b)=-(f(a)+f(b)) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)}}$ ισχύει για όλα τα x,y του R
Μετά από ΠΜ του Βασίλη
Εχουμε δείξει την Cauchy για ομόσημους x,y
Aν $\displaystyle{x>0,y>0 ,x>y}$ τότε $\displaystyle{f(x-y)+f(y)=f(x-y+y)=f(x)\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)}$ για μη αρνητικούς και όμοια για μη θετικούς
Αν $\displaystyle{x>0,y<0,x+y>0}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+y)=f(x-(-y))=f(x)-f(-y)=f(x)+f(y)}$ (ομοια και όταν x+y<0)

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 23, 2010 8:08 am**

Ευχαριστώ για την ενασχόληση Ροδόλφε και Βασίλη

mathematica.gr

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή